矩阵分析与计算2013解答及评分标准.doc

《矩阵分析与计算2013解答及评分标准.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、一、（10分）设矩阵，计算

2、

3、A

4、

5、1，max{

6、

7、Ax

8、

9、¥：

10、

11、x

12、

13、¥=2}、cond1(A)。解：

14、

15、A

16、

17、1=5（3分）；max{

18、

19、Ax

20、

21、¥：

22、

23、x

24、

25、¥=2}=2

26、

27、A

28、

29、¥=8}（6分）（8分）cond1(A)=

30、

31、A

32、

33、1×

34、

35、A-1

36、

37、1=20（10分）二、（12分）已知矩阵，试求A不变因子、初等因子，并写出A的Jordan标准形。解：不变因子d1=d2=1；d3=(l+1)3；……6分；初等因子为(l+1)3(9分)A的Jordan标准形为(12分)三、（8分）利用盖尔圆定理证明有三个互异实

38、特征值。解：取D=diag(2,1,1),则A与B=D-1AD特征值相同，而B的三个行盖尔圆彼此孤立，故每个盖尔圆内有且仅有1个特征值，而B是是矩阵，而各盖尔圆均关于实轴对称，因而其中特征值均是实的。……………8分四、（10分）用LU分解求解方程组解:系数矩阵A的LU分解如下　（5分）求解得到　（１0分）五、（10）利用幂法计算矩阵按模最大的特征值及特征向量的近似值：设初始向量v0=[111]T，迭代2次，保留4位小数。解:lmax»5.3333,特征向量[0.34380.75001.0000](10分)六、（20

39、分）已知，（1）求A的满秩分解；（2）求；（3）用广义逆矩阵方法判断线性方程组是否有解；（4）求的极小范数解或极小范数最小二乘解，并指出所求的是哪种解．解：(1)(6分)(2)(12分)(3),方程组无解；(16分)（4）极小范数最小二乘解为(20分)七、（15分）对于如下线性方程组，（1）试证明其Jacobi迭代收敛；（2）并用Jacobi迭代法计算其近似解，设初始向量为x(0)=[000]T,迭代四次，结果用分数或小数（保留到小数点后第四位）表示。解：(1)迭代矩阵BJ谱半径r(BJ)=0.5<1，故Jacob

40、i迭代收敛。(7分)（2）四次迭代值依次为(15分)八、(15分)已知（1）求；（2）求满足的解。解：(1)令j(l)=det(lI-A)=(l+1)(l-1)2,令elt=q(l,t)j(l)+a2(t)l2+a1(t)l+a0(t),则有eAt=a2(t)A2+a1(t)A+a0(t)I；(4分)而eAt=a2A2+a1A+a0I其中a2,a1,a0上式给定。(9分)（2）=[a2A2+a1A+a0I]x(0)=a2x(0)-a1x(0)+a0x(0)=[a2-a1+a0]x(0)=e-t[1,1,1]T(15

41、分)