周世勋量子力学习题及解答.pdf

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1、量子力学习题及解答第一章量子理论基础1．1由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长λ与温m度T成反比，即λT=b（常量）；m并近似计算b的数值，准确到二位有效数字。解根据普朗克的黑体辐射公式38πhv1ρd=⋅dv，（1）vv3hvcekT−1以及λv=c，（2）ρdv=−ρdλ，（3）vv有dvρ=−ρλdλ⎛c⎞d⎜⎟⎝λ⎠=−ρ(λ)vdλρ(λ)v=⋅cλ8πhc1=⋅,5hcλeλkT−1这里的ρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+dλ之间的辐射能量密度。λ本题关注的是λ取

2、何值时，ρ取得极大值，因此，就得要求ρ对λ的一λλ阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作λ。但要注意的是，还需要验证ρmλ对λ的二阶导数在λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的λ就mm是要求的，具体如下：⎛⎞'8πhc1⎜hc1⎟ρ=⋅−5+⋅=0λ6hc⎜hc⎟λ⎜λkT−⎟eλkT−1⎝1−eλkT⎠1hc1⇒−5+⋅=0hcλkT−1−eλkThc−hc⇒5(1−eλkT)=λkThc如果令x=，则上述方程为λkT−x5(1−e)=x这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，

3、但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有hcλT=mxk把x以及三个物理常量代入到上式便知−3λT=2.9×10m⋅Km这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。1．2在0K附近，钠的价电子能量约为3eV，求其德布罗意波长。解根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv，hP=λ2如果所考虑的粒子是非相对论性

4、的电子（E<<µc），那么动e2pE=2µe如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV，远远小于电子的质量与光速平6方的乘积，即0.51×10eV，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有hλ=p2h=2µEehc=22µcEe−61.24×10=m62×0.51×10×3−9=0.71×10m=0.71nm在这里，利用了−6hc=1.24×10eV⋅m以及26µc=0.51×10eVe最后，对hcλ=22µcEe作一点讨论，从上式可以看出

5、，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。31．3氦原子的动能是E=kT（k为玻耳兹曼常数），求T=1K时，氦原子的德2布罗意波长。解根据−31k⋅K=10eV，知本题的氦原子的动能为33−3E=kT=k⋅K=1.5×10eV,222显然远远小

6、于µc这样，便有核hcλ=22µcE核3−61.24×10=m9−32×3.7×10×1.5×10−9=0.37×10m=0.37nm这里，利用了269µc=4×931×10eV=3.7×10eV核最后，再对德布罗意波长与温度的关系作一点讨论，由某种粒子构成的温度为T的体系，其中粒子的平均动能的数量级为kT，这样，其相庆的德布罗意波长就为hchcλ==222µcE2µkcT据此可知，当体系的温度越低，相应的德布罗意波长就越长，这时这种粒子的波动性就越明显，特别是当波长长到比粒子间的平均距离还长时，粒

7、子间的相干性就尤为明显，因此这时就能用经典的描述粒子统计分布的玻耳兹曼分布，而必须用量子的描述粒子的统计分布——玻色分布或费米公布。1．4利用玻尔——索末菲的量子化条件，求：（1）一维谐振子的能量；（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。−24−1已知外磁场H=10T，玻尔磁子M=9×10J⋅T，试计算运能的量子化间B隔△E，并与T=4K及T=100K的热运动能量相比较。解玻尔——索末菲的量子化条件为∫pdq=nh其中q是微观粒子的一个广义坐标，p是与之相对应的广义动量，回路积分是沿运动轨

8、道积一圈，n是正整数。（1）设一维谐振子的劲度常数为k，谐振子质量为μ，于是有2p12E=+kx2µ2这样，便有12p=±2µ(E−kx)2这里的正负号分别表示谐振子沿着正方向运动和沿着负方向运动，一正一负正好表示一个来回，运动了一圈。此外，根据12E=kx22E可解出x=±±k4这表示谐振子的正负方向的最大位移。这样，根据玻尔——索末菲的量子化条件，有x+12x−12∫2µ(E−kx)dx+∫(−)2µ(E−kx)dx=nhx−2x+2⇒x+E1kx2dxx+E1k