指数函数与对数函数的关系教案.doc

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1、3.2.3　指数函数与对数函数的关系【学习要求】1.了解反函数的概念及互为反函数图象间的关系;2.掌握对数函数与指数函数互为反函数.【学法指导】通过探究指数函数与对数函数的关系,归纳出互为反函数的概念,通过指数函数图象与对数函数图象的关系,总结出互为反函数的图象间的关系,体会从特殊到一般的思维过程.填一填：知识要点、记下疑难点1.当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量,而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量.我们称这两个函数互为反函数.即y＝f(x)的反函数通常用y＝f－1(x)表示.2.对数函数y＝log

2、ax与指数函数y＝ax互为反函数,它们的图象关于直线y＝x对称.3.互为反函数的图象关于直线y＝x对称;互为反函数的图象同增同减.4.当a>1时,在区间[1,＋∞)内,指数函数y＝ax随着x的增加,函数值的增长速度逐渐加快,而对数函数y＝logax增长的速度 逐渐变得很缓慢.研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]　设a为大于0且不为1的常数,对于等式at＝s,若以t为自变量可得指数函数y＝ax,若以s为自变量可得对数函数y＝logax.那么指数函数与对数函数有怎样的关系呢？这就是本节我们要探究的主要问题.探究点一指数函数与对数函数的关系导

3、引为了探究这两个函数之间的关系,我们用列表法画出函数y＝2x及y＝log2x的图象.问题1函数y＝2x及y＝log2x的定义域和值域分别是什么,它们的定义域和值域有怎样的关系？答：函数y＝2x的定义域为R,值域为(0,＋∞);函数y＝log2x的定义域为(0,＋∞),值域为R.函数y＝2x的定义域和值域分别是函数y＝log2x的值域和定义域.问题2在列表画函数y＝2x的图象时,当x分别取－3,－2,－1,0,1,2,3这6个数值时,对应的y值分别是什么？答：y值分别是:,,,1,2,4,8.问题3在列表画函数y＝log2x的图象时,当x分别

4、取,,,1,2,4,8时,对应的y值分别是什么？答：y值分别是:－3,－2,－1,0,1,2,3.问题4综合问题2、问题3的结果,你有什么感悟？答：在列表画y＝log2x的图象时,可以把y＝2x的对应值表里的x和y的数值对换,就得到y＝log2x的对应值表.问题5观察画出的函数y＝2x及y＝log2x的图象,能发现它们的图象有怎样的对称关系？答：函数y＝2x与y＝log2x的图象关于直线y＝x对称.问题6我们说函数y＝2x与y＝log2x互为反函数,它们的图象关于直线y＝x对称,那么对于一般的指数函数y＝ax与对数函数y＝logax又如何？

5、答：对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数.它们的图象关于直线y＝x对称.探究点二　互为反函数的概念问题1对数函数y＝logax与指数函数y＝ax是一一映射吗？为什么？答：是一一映射,因为对数函数y＝logax与指数函数y＝ax都是单调函数,所以不同的x值总有不同的y值与之对应,不同的y值也总有不同的x值与之对应.问题2对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数,更一般地,如何定义互为反函数的概念？答：当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量,而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量,我们称

6、这两个函数互为反函数.函数y＝f(x)的反函数通常用y＝f－1(x)表示.问题3　如何求函数y＝5x(x∈R)的反函数？答：把y作为自变量,x作为y的函数,则x＝,y∈R.通常自变量用x表示,函数用y表示,则反函数为y＝,x∈R.例1　写出下列函数的反函数:(1)y＝lgx;(2)y＝logx;(3)y＝x.解：(1)y＝lgx(x>0)的底数为10,它的反函数为指数函数y＝10x(x∈R).(2)y＝logx(x>0)的底数为,它的反函数为指数函数y＝x(x∈R).(3)y＝x(x∈R)的底数为,它的反函数为对数函数y＝logx(x>0)

7、.小结：求给定解析式的函数的反函数的步骤:(1)求出原函数的值域,这就是反函数的定义域;(2)从y＝f(x)中解出x;(3)x、y互换并注明反函数的定义域.跟踪训练1　求下列函数的反函数:(1)y＝3x－1;(2)y＝x3＋1(x∈R);(3)y＝＋1(x≥0);(4)y＝(x∈R,x≠1).解：(1)由y＝3x－1,得x＝(y＋1),即所求反函数为y＝(x＋1);(2)函数y＝x3＋1的值域为R,x3＝y－1,x＝,所以反函数为y＝(x∈R);(3)函数y＝＋1(x≥0)的值域为y≥1,由＝y－1,得x＝(y－1)2,所以反函数为y＝(x

8、－1)2(x≥1).(4)因y＝＝＝2＋,所以y≠2,由＝y－2,得x＝1＋＝,所以反函数为y＝(x≠2).例2　已知函数f(x)＝ax－k的图象过点(1,3),其反函数y＝f－