求异面直线距离的几种方法.doc

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1、求异面直线距离的几种方法　　求异面直线间的距离是高中数学的一个难点，难就难在不知怎样去找异面直线的公垂线，也不会将所求的问题进行转化.为此，下面举例向大家介绍几种求异面直线间距离的方法，相信对大家学好这部分知识会有一定的帮助.　　一、平移法　　解题思路若能找到一条直线c，使c与异面直线a和b都垂直，但c又不是a、b的公垂线，这时我们设法将直线c平移到直线c′处，使c′与a、b均相交，则c′夹在a和b之间的线段就是a和b的公垂线段.然后再根据平面几何和立体几何知识，求出公垂线段的长.　　例1已知正方体ABCD-A1B1C1D1，其棱长为a，求AC和A1D间的距离.　

2、　解析如图1，由立体几何知识容易知道BD1⊥A1D、BD1⊥AC.　　设BD与AC的交点为M，△DBD1中，将BD1平移到MN处，连结AN，可知N为DD1的中点.　　设AN与A1D交点为Q.在△AMN中，将MN平移到QP处，可知QP就是AC与A1D的公垂线.　　由平面几何知识，有AQQN=21，则AQAN=23，而MN=12BD1=32a，PQMN=AQAN，所以PQ32a=23，PQ=33a.　　故AC和A1D的距离为33a.采用同样的方法可以求出BD与B1C的距离也为33a.（请同学们完成）　　二、线面垂直法　　解题思路a、b为异面直线，平面α过直线b，且a⊥

3、α于O，过O在α内作OP⊥b于P，则OP的长为异面直线a、b间的距离.　　例2如图2，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，其棱长为a，求B1D1与A1C之间的距离.　　解析∵B1D1⊥A1C1，B1D1⊥CC1，∴B1D1⊥平面A1CC1于O1.　　过O1做O1E⊥A1C于E，则O1E是异面直线B1D1与A1C的距离.　　∵△A1CC1∽△A1O1E，∴A1O1O1E=A1CCC1，　　∴O1E=A1O1?CC1A1C=22a?a3a=66a，即B1D1与A1C的距离为66a.　　三、面面平行法　　解题思路a、b为两条异面直线，分别过a、b作平面α、β，使α∥β

4、，那么α、β的距离就是a、b的距离.　　例3棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、AD的中点，求EF、DB1的距离.　　解析如图3，G为AA1的中点.　　∵GF∥A1D，GE∥A1B1，∴平面A1B1D∥平面EFG.　　∵A1D⊥AD1，A1B1⊥AD1，∴AD1⊥平面A1B1D.　　同理，AD1⊥平面EFG，∴AD1被平面A1B1D与平面EFG截得的线段MN的长就是异面直线EF与BD1的距离.　　故异面直线EF与DB1的距离为：　　MN=14AD1=24a.　　四、转化法　　解题思路求异面直线间的距离通常转化为直线到平面的距离，再转化

5、为点到平面的距离，而点到平面的距离常用体积法来求.主要思路是过异面直线中的一条作一个平面，使这个平面与其中的另外一条平行，则异面直线的距离就转化为直线到平面的距离.再转化为直线上的点到平面的距离，这是一种很重要的转化思想，是求异面直线间距离的常用方法.　　例4如图4，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，其棱长为a.M、N分别是正方形BCC1B1、A1B1C1D1的中心，求异面直线AM和DN间的距离.　　解析如图4所示，把AM平移到KC1处，易得KC1与DN一定相交在一个平面内，从而有AM∥平面A1DC1，于是DN、AM间的距离就是直线AM到平面A1DC1的距离，

6、进而转化为求点A到平面A1DC1之间的距离.　　设所求的距离为d，运用体积法VA-A1DC1=VC1-A1AD，即13d?S△A1DC1=13a?S△A1AD，所以d=aS△A1ADS△A1DC1.容易求得S△A1DC1=32a2，S△AA1D=12a2，所以d=a?a2232a2=33a.　　五、公式法　　解题思路求异面直线之间的距离，除了上述常用方法外，我们还可以根据下面的两个公式来求.　　公式1如图5，三棱锥A-BCD中，若AB和CD所成的角为θ，三棱锥A-BCD的体积为VA-BCD，则异面直线AB与CD之间的距离d=6VA-BCDAB?CDsinθ.　　图

7、5图6公式2已知平面α∩β=a，二面角α-a-β的平面角为θ，如图6.直线b与平面α、β分别相交于A、B，点A、B到棱a的距离分别为m、n.则异面直线a和b之间的距离d=mnsinθm2+n2-2mncosθ.　　以上两个公式均可按照方法3来求，有兴趣的同学可以自己证明一下.　　例5如图7，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，其棱长为a.P是B1C1的中点，求AC与BP的距离.　　解法1运用公式1来求.　　设AC和BP所成的角为θ，取A1D1的中点为N，连结AN，则∠CAN=θ.不难求出sin∠CAN=31010，AC=2a，BP=5a2，VP-ABC=13a?

8、12a2=