高等代数考研真题答案.doc

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1、2011年硕士研究生入学考试试题答案及评分标准考试科目代码：856考试科目名称：高等代数一.（40分，每题4分）答：1.(C)2.(B)3.(D)4.(D)5.(C)6.(B)7.(A)8.(B)9.(A)10.(D)二.（20分）(1).证明：如果,,那么.(2).命题“如果是的重根，那么是的重根”对吗？若你认为这个命题是对的，给出一个证明。若你认为不对，请举出反例。答：(1).如果与不互素，那么存在不可约多项式,使并且.（5分）由后者可知，或者,都与及矛盾。(10分)(2).命题不对（4分）。反例：取,则.0是的1

2、重根，但0不是的2重根。（10分）三.（15分）已知行列式.求，其中是元素的代数余子式。解：考虑行列式，按它的第二列展开。（5分）由于和除了第二列外均相同，故，（10分）而计算可得.所以.（15分）四．（20分）计算阶行列式.解：各列加到第一列；按第一列展开。原式……………………………..(10分)……..………..………………..(15分)……..………..………..………………..(18分)……..………..………..………………..(20分)五.（10分）写出一个三元齐次线性方程组，使它的基础解系为.解：考虑以为

3、解的方程，那么.（3分）把它看成的方程。得到基础解系..………....…………（7分）由此得到方程组它以为基础解系。.………....………….………....………….………..（10分）六.（15分）设数域上的3维空间的线性变换在基下的矩阵为.求线性变换在基下的矩阵。解：线性变换在基下的矩阵为..………....…………（5分）由于……....…………（10分）所以……（15分）七.（15分）设是维欧氏空间的一个正交变换，证明的不变子空间的正交补也是的不变子空间。证：设是的任意一个不变子空间，为的一组标准正交基，把它扩充

4、成的一组标准正交基,,（5分）则.（8分）由于为正交变换，所以也是标准正交基．（10分）又由于是的不变子空间，所以是的一组标准正交基，从而，（12分）任取,那么.故是的不变子空间．（15分）八.（15分）设是维欧氏空间的一个线性变换．如果关于一个标准正交基的矩阵是实对称矩阵，那么是一个对称变换．证：设关于的一个标准正交基的矩阵是对称的．令是的任意向量．……..………..………..…………（2分）那么……..………..………..…………（4分）……..………..………..………....…………（6分）……..………..…

5、……..………....…………（8分）……..……………..………..………..………....…………（10分）同样的计算可得……..………..………..………....…………（13分）因为，所以。即是一个对称变换。…………（15分）