时空分数阶导数算子.docx

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1、时空分数阶导数算子BORISBAEUMERMARKM.MEERSCHAERTJEFFMORTENSEN摘要不规则扩散的演化方程在空间和时间中使用分数阶导数。在时空间的变量的连接产生了新型的分数阶导数算子。本文讨论一些算子的数学基础。简介在经典扩散中，微粒以通常的钟型的模式传播，其宽度与时间的平方根相关。当生长率或粒子分布的形状经典模型预测不同时发生异常扩散。异常扩散在可以许多物理现象中观察到，并激励新的数学模型和物理模型的发展[5，6，7，13，16，20]。一些最成功的模型采用分数阶导数[21，27]，其实就是异常扩散中常见整数情况的衍生物。建立异常扩散的物

2、理模型一种方法是源于全体粒子在随机过程中的极限分布。连续时间下的随机漫步[22，29]一直是最有用的[18，20，30]，其中每个随机粒子跳跃后会有随机的等待时间。非常大的颗粒的跳跃与空间分数阶导数[14]有关，而很长的等待时间会产生时间的分数阶导数[18，26]。同样的模型方程也被应用到混沌动力学[31]和经济学28]。  在连续时间的随机漫步中，颗粒跳跃的大小可以取决于在跳跃之间的等待时间。对于这些模型，颗粒的极限分布受控于涉及时空分数阶导数算子的分数阶微分方程[3,19]。本文建立了这些算子的数学基础。尤其是，它们被证明是某些连续卷积半群的生成元，并且它

3、们的域表现为一个合适的函数空间，其中的乘法的运算在傅立叶拉普拉斯空间的产物。普通空时算子的一般形式被给出。在这方面的发展中所使用的技术手段是算子半群[1，11，23]，和算子稳定的概率分布的理论[12，15]。分数阶导数和异常扩散让表示粒子在位置x处和时间t时的相对浓度。经典扩散方程可以使用傅立叶变换求解，这把扩散方程转化为一个常微分方程的。初始条件相当于，所以所有的颗粒都从开始。其解反转得到均值为0标准差为的概率密度。使用中心极限定理，也就得到粒子随机漫步的极限密度在跳跃代表0和方差之一时会跳跃。如果颗粒跳跃的概率分布有随指数定期对变更的尾部（粗略地讲，这意

4、味着该跳跃的距离大于r的概率下降到），则方差无定义，所以经典的中心极限定理不适用。一个推广的中心极限定理[8，9，15]表明随机漫步收敛到一个稳定的Levy运动其概率密度经过傅里叶变换，显然是，解。反转表明粒子浓度解决了分数阶偏微分方程其中对称分数微分算子对应傅立叶空间以为符号乘法。这是一般的二阶导数算子的分数幂。非对称粒子跳跃形成一个更一般形式的以为符号的分数阶导数算子[7,4]，当为跳跃幅度趋向于无穷的正跳跃的渐近分数。对于对称向量转移的一个类似的讨论我们可以对使用以为符号的拉普拉斯算子，可在中见到更普遍的形式[14，16]。这些拟微分算子也是某些连续卷积

5、半群的生成元[2,11]。如果粒子跳跃间的等待时间以指数0<β<1定期复合，则随机漫步粒子的跳跃（称为连续时间随机漫步）收敛到一个服从于逆β-稳定从属的Levy运动[17，18]。假定等待时间和随后的粒子跳跃是独立的，其从属是独立的Levy过程，并控制方程成为，它是由Zaslavsky[31]作为一种哈密顿混乱模型首次提出的。非对称跳跃，或矢量转移，其改变空间导数方式如前[2]。重尾粒子跳跃产生空间的分数阶导数，重尾等候时间产生时间的分数阶导数。当等待时间和粒子跳跃依赖随机变量，控制方程的另一种形式便出现了。该极限过程是仍然一个从属于平稳的从属的Levy运动，

6、但现在这两个过程相互依赖。时空向量组成的等待时间和跳转必须使用算子稳定极限理论来处理，因为每个坐标不同的尾部行为[3]。这导致了控制方程采用一种新的耦合时空分数阶导数。假设等待时间满足并且对称粒子的跳跃幅度在等待时间时是均值为方差为的正常分布。那么，控制方程采用了时空分数阶导数与傅立叶拉普拉斯符号。本文的目的是探讨这些算子的性质，以建立分析这些方程的数学基础。让这个问题有趣的是，由于空间和时间有密不可分的关系，不能用通常的方式，即泛函空间中的常微分方程来看待这些发展方程。时空分数阶导数设，并假设是一个概率分布，并在傅立叶变换拉普拉斯变换为。令表示对自身n次的卷

7、积。如果对于每个存在概率分布且满足我们就说是无穷可分的。其Levy表示（例如，见引理[3]的2.1）说明是无穷可分的当且仅当对于一些独特连续函数我们可以得到。例如：。且有对于一些特殊的定点，一些的非负定矩阵，和上的正测度，在远离原点的有界域上有界并满足该测度称为的Levy测度，并且被称为的levy表示。在这种情况下，我们定义（可能是小数）卷积幂在Levy表示为三元组下的无穷可分律，因此对于任意，具有特征函数。且对任意有。无穷可分分布可以用来定义半群卷积。令表示可测函数集，其积分和范数存在。我们称此范数为范数，且是巴拿赫空间。除非明确说明，将被看作是一个正实数。

8、显然，是真包含，除非时，两个函数空间是