矿大高数 8.8多元函数的极值及其求法ppt课件.ppt

《矿大高数 8.8多元函数的极值及其求法ppt课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第八节多元函数的极值与最值11、二元函数极值的定义2(1)(2)(3)例1例２例３32、多元函数取得极值的条件证45仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.驻点极值点问题：如何判定一个驻点是否为极值点？注意：67例4.求函数解:第一步求驻点.得驻点:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判别.在点(1,0)处为极小值;在点(1,2)处不是极值;解方程组的极值.求二阶偏导数8例4求函数驻点:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).在点(3,0)处不是

2、极值;在点(3,2)处为极大值.的极值.9例5.讨论函数及是否取得极值.解:显然(0,0)都是它们的驻点,并且在(0,0)都有在(0,0)点邻域内的取值可能为因此z(0,0)不是极值.因此当时,为极小值.正负0在点(0,0)1011求最值的一般方法：将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.3、多元函数的最值12解如图,131415解由1617例8.解:设水箱长,宽分

3、别为x,ym,则高为水箱所用材料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？因此可断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均为,高为时，水箱所用材料最省。18三、条件极值拉格朗日乘数法极值问题无条件极值:对自变量只有定义域的限制条件极值:对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制19条件极值的求法.在条件下,求函数的极值.方法一代入法从条件中解出求一元函数在条件下,求函数的极值转化的无条件极值问题20方法

4、二.拉格朗日乘数法在条件下,求函数的极值.分析:设条件方程则问题等价于一元函数极值点必满足可确定隐函数极值问题,极值点必满足故21在条件下,求函数的极值.引入辅助函数极值点必满足辅助函数F称为拉格朗日(Lagrange)函数.利用拉格朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.22推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.设解方程组可得到条件极值的可疑点.例如,求函数下的极值.在条件23例9要设计一个容量为的长方体开口水箱,试问水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？使则问题为求令解方程组得由

5、题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的2倍时，所用材料最省。解:设分别表示长,宽,高,下水箱表面积最小.在条件因此,当高为24解则25解262728可得即由实际问题及驻点唯一性知2930