资源描述：
《拉格朗日插值.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、拉格朗日插值绘制龙格现象一、问题叙述龙格反例1/(1+x^2)说明高次代数插值会导致误差很大。在区间[-5,5]上取等距结点构造10次拉格朗日插值多项式用计算机绘制图形显示龙格现象。二、理论分析1.拉格朗日插值：假设有（n+1）个拉格朗日插值结点，已知函数值求n次多项式使其满足插值条件类似于二次插值方法，根据插值结点构造(n+1)个拉格朗日插值基函数每一个基函数都是零点多项式满足插值条件拉格朗日插值基函数：拉格朗日插值多项式：2.切比雪夫插值：n阶切比雪夫多项式定义为若令，则有。由余弦函数性质，有所以有递推关系，又
2、有，所以n阶切比雪夫多项式零点为。3.Hermite插值如果f(x)在区间[a,b]上连续可导，是互异的，那么存在唯一的多项式满足多项式在这些点上的值与函数f(x)的值相等、多项式在这些点的一阶导数值与函数的一阶导数值相等。这个多项式可以表示为其中三、算法MATLAB实现（1）拉格朗日插值描绘龙格现象，代码如下：functionf=Language(x,y,x0)symstl;if(length(x)==length(y))n=length(x);elsedisp('x和y维数不相等');return;endh=s
3、ym(0);for(i=1:n)l=sym(y(i));for(j=1:i-1)l=l(t-x(j))/(x(i)-x(j));end;for(j=i+1:n)l=l(t-x(j))/(x(i)-x(j));end;h=h+l;endsimplify(h);if(nargin==3)f=subs(h,'t',x0);elsef=collect(h);f=vpa(f,6);end主程序x1=-5:1:5;x2=-5:2:5;x3=-5:2/3:5;y11=1./(1+x1.^2);%10次拉格朗日插值y12=1./(
4、1+x2.^2);%5次拉格朗日插值y13=1./(1+x3.^2);%15次拉格朗日插值x0=-5:0.001:5;%调用拉格朗日函数y1=Language(x1,y11,x0);y2=Language(x2,y12,x0);y3=Language(x3,y13,x0);y0=1./(1+x0.^2);plot(x0,y0);holdonplot(x0,y2,'r');holdonplot(x0,y1,'k');holdonplot(x0,y3,'g');holdonxlabel('x');ylabel('y')
5、;title('原函数f(x)=1/(1+x^2)等距拉格朗日插值');legend('原函数','5次拉格朗日插值','10次拉格朗日插值','15次拉格朗日插值');gridon插值效果如下：图1等距拉格朗日插值图1分别进行5次、10次、15次拉格朗日插值，可以看出5次插值拟合效果不是很好，10次插值在插值区间的边界处出现很大波动，明显偏离原函数，15次插值看到波动情况加强，故得出结论：拉格朗日插值次数不宜过高。高次插值边界出现这种波动现象叫做龙格现象。为避免上述现象，分别采用切比雪夫插值，埃米特插值和样条插值
6、来避免龙格现象（2）切比雪夫插值：用切比雪夫多项式零点代替等距结点，其他基本不变x1=-5:1:5;y11=1./(1+x1.^2);x0=-5:0.001:5;y1=Language(x1,y11,x0);y0=1./(1+x0.^2);k=0:1:10;xx=5cos((2k+1)pi/22);%用切比雪夫多项式零点代替等距结点yy=1./(1+xx.^2);y4=Language(xx,yy,x0);plot(x0,y0,'k');holdonplot(x0,y1,'r');holdonplot(x0,y4,
7、'b',xx,yy,'ob');插值效果如下：图2切比雪夫插值由图2可以看出10次切比雪夫插值很好的和原函数拟合，并且波动较小，说明伪振荡现象得到控制。（3）样条插值：样条插值直接采用MATLAB插值函数spline()，代码如下：x=-5:1:5;y=1./(1+x.^2);xx=-5:0.01:5;yy=spline(x,y,xx);%使用样条插值方法x0=-5:0.001:5;y0=1./(1+x0.^2);plot(x,y,'ok',xx,yy,'r',x0,y0,'b');插值效果如下：图3样条插值由图3
8、可以看出样条插值拟合效果最好，与原函数基本一致，但样条插值处理1/（1+25x^2）函数时，还是有波动的，故不能完全说明样条是最好的插值方式（4）Hermite插值：根据埃米特插值表达式写出代码如下：functionyy=Hermite(x,y,dy,xx)n=length(y);m=length(x);l=length(dy);k=length(xx);i
