工程实例报告.doc

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1、基于LQR的二级倒立摆控制一、问题的描述对于二级倒立摆系统，在外力的作用下如何控制摆的角度在最短的时间内达到系统的平衡。二、数学模型的建立建立倒立摆系统的模型时，一般采用牛顿运动规律，结果要解算大量的微分方程组，而且考虑到质点组受到的约束条件，建模问题将更加复杂，为此本报告采用分析力学方法中的Lagrange方程推导倒立摆的系统模型。在推导数学模型之前，我们需要几点必要的假设：1.上摆、下摆及小车均是刚体；2.皮带轮与传动带之间无相对滑动；传动皮带无伸长现象；3.小车运动时所受的摩擦力正比于小车的速度；4.小车的驱动力与直流放大器的输入成正比

2、，且无滞后，忽略电机电枢绕组中的电感；5.下摆转动时所受到的摩擦力矩正比于下摆的转动速度；6.上摆运动时所受到的摩擦力矩正比于上摆对下摆的相对角速度；二级倒立摆的运动分析示意图如图2.2yxxFm1m3m2M图2.2二级倒立摆运动分析示意图倒立摆系统参数如下：M=1.32Kg（小车系统的等效质量）=0.04Kg（摆杆1质量）=0.09m（摆杆1转动中心到杆质心距离）m2=0.132Kg（摆杆2质量）l2=0.27m（摆杆2转动中心到杆质心距离）=0.208Kg（质量块质量）F：作用在系统上的外力：摆杆1与垂直向上方向的夹角：摆杆2与垂直向上方

3、向的夹角首先，计算系统的动能：(2.3)小车动能：(2.4)摆杆1动能：(2.5)式中，(2.6)(2.7)则(2.8)摆杆2动能：(2.9)式中，(2.10)(2.11)(2.12)质量块动能：(2.13)因此，可以得到系统动能：(2.14)系统的势能为：(2.15)至此得到拉格朗日算子：(2.16)由于因为在广义坐标上均无外力作用，有以下等式成立：(2.17)(2.18)展开(2.17)、(2.18)式，分别得到(2.19)、(2.20)式(2.19)(2.20)将(2.19)、(2.20)式对求解代数方程，得到以下两式(2.21)(2.

4、22)表示成以下形式：(2.23)(2.24)取平衡位置时各变量的初值为零，(2.25)将(2.23)式在平衡位置进行泰勒级数展开，并线性化，令(2.26)(2.27)(2.28)(2.29)(2.30)(2.31)(2.32)得到线性化之后的公式(2.33)将在平衡位置进行泰勒级数展开，并线性化，令(2.34)(2.35)(2.36)(2.37)(2.38)(2.39)(2.40)得到(2.41)即:(2.42)(2.43)现在得到了两个线性微分方程，由于我们采用加速度作为输入，因此还需加上一个方程:(2.44)取状态变量如下：(2.45)

5、则状态空间方程如下：(2.46)将以下参数代入求出各个值：得到状态方程各个参数矩阵：一、LQR控制器参数Q、R的设计一般来说，加权矩阵Q和R的选取是在立足提高控制性能与降低控制能量消耗的折衷上考虑的。为了使问题简单，且使加权阵Q和R的各元素有明显的物理意义，通常将加权阵Q和R选为对角阵。这样可以看出是对状态X平方的加权，相对增大就意味着对X的要求较严;R是对控制量u的平方的加权，当R相对较大，意味着控制费用增高，使得控制能量较小，反馈减弱，当R相对很小时，控制费用较低，反馈增强，系统动态响应迅速。对于二级倒立摆系统，二次型性能指标应能使其在调

6、节过程中不偏离倒立摆的控制区域且尽可能在系统的线性范围内，根据前面对二级倒立摆运动分析，在考虑倒立摆系统的各个状态时，上摆偏角应比下摆的偏角重要，下摆的偏角应比小车的位移x重要，因此要在选择加权矩阵Q和R时反映这些要求。利用遗传算法优化加权矩阵Q。1.确定参数的染色体编码方法。将Q矩阵的对角线6个元素作为待寻优参数，采用长度为10位的二进制编码串来分别表示这6个参数，然后将这些二进制编码串连接在一起，组成一个6×10位长的二进制编码串；取R=0.1；2.确定解码方法。解码时需先将8×10位长的二进制编码串切断为6个10位长的二进制编码串，然后

7、分别将它们转换为对应的十进制整数代码；3.确定优化目标函数的类型及数学描述形式。在LQ最优控制中取目标函数为，这里为4.设计遗传算子。选择运算采用比例选择算子，交叉运算采用单点交叉算子，变异运算采用基本位变异算子；5.选取遗传算法的控制参数。设群体大小为80，最大迭代次数为200，交叉概率选为0.9，变异概率选为0.01并随机产生初始群体；6.确定个体评价方法。在本设计中将适应度取为目标函数值的倒数，即；7.进行遗传算法搜索过程，即采用随机采样的方法选择个体、通过交叉和变异产生新个体、再计算新个体的目标函数值；8.如果收敛条件满足(即超过给定

8、的最大代次)，则结束算法；否则，重复7。通过上述算法就确定了使目标函数值最小加权矩阵Q中的待优化元素的值，从而确定反馈控制规律的向量K。一、利用matlab进行系统