变步长的梯形积分方法的应用.doc

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1、CENTRALSOUTHUNIVERSITY数值分析实验报告变步长的梯形积分方法的应用一、问题背景实际问题当中常常需要计算积分，有些数值方法，如微分方程和积分方程的求解，也都和积分计算相关联。依据人们所熟知的微积分基本定理，对于积分，只要找到被积分函数的原函数，便有下列牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式：.但实际使用这种求积分方法往往有困难，因为大量的被积函数，诸如，等，其原函数不能用初等函数表达，故不能用上述公式计算。即使能求得原函数的积分，有时计算也十分困难。例如对于被积函数，其原函数，计算，仍然很困难，另外，当是由测量或数值计算给出的一张

2、数据表时，牛顿-莱布尼茨公式也不能直接运用。因此有必要研究积分的数值计算问题。二、数学模型由于牛顿-科特斯积分公式在时不具有稳定性，故不能通过提高阶数的方法来提高求积精度。为了提高精度通常可以把积分区间划分成若干的子区间（通常是等分），再在每个子区间上用低阶求积公式。这种方法称为复合求积法。复合梯形法虽然方法简单，但是却不能估计积分精度，这有时候是很不方便的。要想控制积分精度，可以采用如下的方法，设积分区间已经划分为n个子区间，这时再把区间划分更细，给出新的积分结果，如果前后两次积分的差比给定的误差容限小的话，则停止细华否则继续增加积分区间。这种方法原理很简单

3、也容易实现，但是实际计算中一般采用的比较少，因为这种方法比较机械效率不是太高，实际上采用比较多的通常是Romberg方法。三、算法及流程给定义误差容限小量TOL，对于，有复合梯形公式如果前后两次的划分的积分计算结果大于给定的误差TOL，则增加划分区间，如果满足精度，则停止细化，并输出结果。MATLAB实现过程：%可控精度复合梯形法计算积分问题function[jifen,num]=kong_tixing(a,b,tol)%a,b为积分区间%tol为积分精度，默认为10的-3次方if(nargin==3)eps=1.0e-3;endn=1;h=(b-a)/2;i

4、nt_1=0;%调用方程函数int_2=(kong_t_f(a)+kong_t_f(b))/h;%如果前后两次误差小于给定的精度，则停止细化积分区间whileabs(int_2-int_1)>toln=n+1;h=(b-a)/n;int_1=int_2;int_2=0;fori=0:n-1x=a+h*i;x1=x+h;int_2=int_2+(h/2)*(kong_t_f(x)+kong_t_f(x1));endend%积分结果jifen=int_2;%区间划分细度num=n;将文件以文件名kong_tixing.m保存。四、计算结果及分析计算定积分要求输出精

5、度为10-4。打开Editor编写如下程序，并将文件以文件名kong_t_f.m保存。functionf=kong_t_f(x)f=exp(-x^2);打开Editor编写如下程序，并将文件以文件名kong_t_main.m保存。%可控精度的梯形积分方法%精度为0.1[s_1,num_1]=kong_tixing(0,1,1e-1)%精度为0.01[s_2,num_2]=kong_tixing(0,1,1e-4)%精度为0.001[s_1,num_3]=kong_tixing(0,1,1e-7)%画出积分图形x=0:0.02:1;y=exp(-x.^2);ar

6、ea(x,y)在MATLAB命令窗口输入输入>>kong_t_main点击Enter键后得到：s_1=0.6682num_1=3s_2=0.3441num_2=12s_1=0.5303num_3=108从输出的结果可以看出，要达到10-4精度，需要把区间划分为12个子区间，而要达到10-7精度，则要把区间划分为108个子区间。事实上，函数的积分总区间跨度不是很大，所以在划分为108个子区间后已经是对函数取点很密集了。下图给出了积分的几何意义，积分的结果即图中蓝色区域面积，从输出结果可以看出蓝色区域面积约为0.5303。