第三章平面问题有限元法(3a)ppt课件.ppt

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1、有限元法第3章平面问题有限元法一、结构离散二、单元分析三、总刚集成四、载荷移置五、约束处理六、方程求解本章主要内容本章以平面应力问题的静力分析为例，介绍有限元法的有关概念和基本原理与方法1结构离散；单元的概念,结构离散基本假设：2单元分析；基本概念,三角形单元位移函数,形函数,单元刚度矩阵的推导，单刚矩阵特性。3总刚集成；集成原理,集成方法,总刚矩阵的特性;4载荷移置；集中力,面力和体力的移置。5约束处理；约束处理的目的,处理方法。6线性方程求解基本概念1、单元的概念：单元是有限元模型的最基本组成部分，单元与单元之间仅通

2、过节点连接，除此之外再无其他连接。2、结构离散：（1）离散的概念：离散就是将一个连续的弹性体(实际上是描述弹性体形状和尺寸的几何区域，称为求解域)分割为一定形状和数量的单元，从而使连续体转换为由有限个单元组成的组合体。连续体结构离散的基本假设a．连续体可用一些假想的线(对平面问题)或面(对空间问题)来分割体离散成为有限个单元和有限个结点的组合体;b．单元之间假定只在结点处相连结，其他部位则彼此不联系。因此，单作用力只通过结点传递，称为结点力;c．外载荷只作用在结点上，称为结点载荷。作用在单元的非结点载荷（集中力面力或体力

3、）须按一定等效原则移置到结点上（等效结点载荷）；d．结构的实际约束情况均简化为结点处的约束。e．假定单元内任一点的位移，是通过一个假设的位移函数，由单元的结点位移所唯一确定的。鉴于这些假设，连续体有限单元法的解是一种近似解平面结构的离散离散过程也称为划分网格(meshing)。网格的形状可以是多样的，如平面网格有三角形、矩形和任意四边形，同一形状单元的节点数量也可以不同。平面结构的离散离散的基本原则①根据精度和计算规模确定合适的网格数量与密度；②合理的网格几何形状；③网格的分界面和分界点；结构中的特殊界面和特殊点应划分为

4、网格边界或节点，主要有：不同材料的分界面；几何尺寸的突变，如不同板面的分界面，杆件结构不同截面处；不同分布载荷的分界线，集中载荷的作用点，位移约束的作用点。④位移的协调性；如内点，相邻单元位移的连续等；⑤合理的网格布局，如对称结构的网格对称问题。位移函数的基本概念1、节点位移和节点力节点位移是结构离散后描述单元力学特性如结构的变形状态和应力状态的重要参数；对于整个结构来说，是指节点在一定坐标中的广义位移，即包括角位移和线位移；对于单元来说，则是指单元端点的可以发生的位移。对平面问题，单元每个节点有x和y方向的线位移。对于

5、节点i的位移，用矩阵的形式，记作：{δi}={uivi}T与位移分量相对应，在单元的每一个端点，作用有与广义位移分量对应的广义力分量。同样，对于节点i的力，有{Fi}={UiVi}T三节点三角形单元位移函数的基本概念（续）2、节点自由度(DOF：DegreeofFreedom)和单元自由度；节点所具有的位移分量的数量称为节点自由度，一个单元所有节点的自由度总和称为单元自由度。位移有限元`法选择节点位移作为基本未知量。在平面问题中，每个节点有两个位移分量。例如图3-2中的三角形单元，每个节点有x,y方向两个位移分量，即两个

6、自由度，整个单元有6个自由度。3、单元节点和编号结构离散以后，每个节点的位置是已知的(坐标系可任意定义)，因此由若干节点组成的单元形状是确定的。同时，需要对每个节点和单元进行统一编号，该编号作为节点和单元的惟一标识符，不能重复。从图3-2中的组合体中任取一个单元，设其编号为e，三个节点的编号为i、j、，m，在定义坐标系oxy中，节点坐标分别为(xi,yi)、(xj,yj)、(xm,ym)。平面问题三角形单元位移函数1、位移函数的概念按照有限元法分片插值思想，首先假设一种函数来近似表示单元内部的实际位移分布，该函数称为位移

7、函数，又称位移模式。2、位移函数的形式位移函数常常取为多项式，其原因有以下几点：根据数学理论，定义于某一闭区域内的函数总可用一个多项式来逼近；多项式是连续函数，因而在单元内部总可保证位移连续；多项式的数学运算，如微分、积分等都比较容易；不同阶次的多项式可以不同程度地逼近精确解，当多项式的阶次越高，即项数越多，其解也就越精确。三角形单元位移函数（续）3、多项式位移函数的阶次选择原则（1）位移函数应与所选定的单元坐标的方位无关，即不应有一个偏惠的坐标方向，以免单元精度偏向某一方向；二维多项式的巴斯卡三角形：（2）位移函数多项

8、式的项次，即多项式待定系数的数目，应等于单元各节点自由度的总和。多项式阶次的选取把一个高次多项式在不同的阶次截断，其近似于实际的程度就明显地改变。从图(a)至(c)可知，多项式u(x)是逐渐逼近精确解的。这就说明，多项式的阶次越接近能够决定其精确解的m阶多项式，就越接近其真实的解。4、位移函数的收敛准则(1)位移函数