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1、第四节一、立体体积二、曲面的面积三、物体的质心四、物体的转动惯量五、物体的引力机动目录上页下页返回结束重积分的应用第九章1.能用重积分解决的实际问题的特点所求量是对区域具有可加性从定积分定义出发建立积分式用微元分析法(元素法)分布在有界闭域上的整体量3.解题要点画出积分域、选择坐标系、确定积分序、定出积分限、计算要简便2.用重积分解决问题的方法机动目录上页下页返回结束一、立体体积曲顶柱体的顶为连续曲面则其体积为占有空间有界域的立体的体积为机动目录上页下页返回结束任一点的切平面与曲面所围立体的体积V.解:曲面的切平面方程为它与曲面的交线在xoy面上的投影为(记所围域为D)在点例1.求曲面机
2、动目录上页下页返回结束例2.求半径为a的球面与半顶角为的内接锥面所围成的立体的体积.解:在球坐标系下空间立体所占区域为则立体体积为机动目录上页下页返回结束二、曲面的面积设光滑曲面则面积A可看成曲面上各点处小切平面的面积dA无限积累而成.设它在D上的投影为d,(称为面积元素)则机动目录上页下页返回结束故有曲面面积公式若光滑曲面方程为则有即机动目录上页下页返回结束若光滑曲面方程为若光滑曲面方程为隐式则则有且机动目录上页下页返回结束例3.计算双曲抛物面被柱面所截解:曲面在xoy面上投影为则出的面积A.机动目录上页下页返回结束例4.计算半径为a的球的表面积.解:设球面方程为球面面积元素为方法2
3、利用直角坐标方程.(见书P109)方法1利用球坐标方程.机动目录上页下页返回结束三、物体的质心设空间有n个质点,其质量分别由力学知,该质点系的质心坐标设物体占有空间域,有连续密度函数则公式,分别位于为为即:采用“大化小,常代变,近似和,取极限”可导出其质心机动目录上页下页返回结束将分成n小块,将第k块看作质量集中于点例如,令各小区域的最大直径系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.的质点,即得此质点在第k块上任取一点机动目录上页下页返回结束同理可得则得形心坐标：机动目录上页下页返回结束若物体为占有xoy面上区域D的平面薄片,(A为D的面积)得D的形心坐标:则它的质心坐标为其面密度—对x轴的
4、静矩—对y轴的静矩机动目录上页下页返回结束例5.求位于两圆和的质心.解:利用对称性可知而之间均匀薄片机动目录上页下页返回结束例6.一个炼钢炉为旋转体形,剖面壁线的方程为内储有高为h的均质钢液,解:利用对称性可知质心在z轴上，采用柱坐标,则炉壁方程为因此故自重,求它的质心.若炉不计炉体的其坐标为机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束四、物体的转动惯量设物体占有空间区域,有连续分布的密度函数该物体位于(x,y,z)处的微元因此物体对z轴的转动惯量:对z轴的转动惯量为因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,故连续体的转动惯量可用积分计算.机动目录上页下页返回结束类似可得:对x轴的
5、转动惯量对y轴的转动惯量对原点的转动惯量机动目录上页下页返回结束如果物体是平面薄片,面密度为则转动惯量的表达式是二重积分.机动目录上页下页返回结束例7.求半径为a的均匀半圆薄片对其直径解:建立坐标系如图,半圆薄片的质量的转动惯量.机动目录上页下页返回结束解:取球心为原点,z轴为l轴,则球体的质量例8.求均匀球体对于过球心的一条轴l的转动惯量.设球所占域为(用球坐标)机动目录上页下页返回结束G为引力常数五、物体的引力设物体占有空间区域,物体对位于原点的单位质量质点的引力利用元素法,在上积分即得各引力分量:其密度函数引力元素在三坐标轴上的投影分别为机动目录上页下页返回结束对xoy面上的平面
6、薄片D,它对原点处的单位质量质点的引力分量为机动目录上页下页返回结束例9.设面密度为μ,半径为R的圆形薄片求它对位于点解:由对称性知引力处的单位质量质点的引力.。机动目录上页下页返回结束例10.求半径R的均匀球对位于的单位质量质点的引力.解:利用对称性知引力分量点机动目录上页下页返回结束为球的质量机动目录上页下页返回结束作业P967，10,17P1161，3，6,11,13,14习题课目录上页下页返回结束(t为时间)的雪堆在融化过程中,其侧面满足方程设长度单位为厘米,时间单位为小时,设有一高度为已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数0.9),问高度为130cm的雪堆全部融化需要多少小时
7、?(2001考研)机动目录上页下页返回结束备用题提示:记雪堆体积为V,侧面积为S,则(用极坐标)机动目录上页下页返回结束由题意知令得(小时)因此高度为130cm的雪堆全部融化所需的时间为100小时.机动目录上页下页返回结束
