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《概率论第四章4.3 协方差和相关系数及矩ppt课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、一、协方差及其性质第三节协方差、相关系数及矩二、相关系数及其性质三、矩我们先看一个例子。在研究子女与父母的相象程度时，有一项是关于父亲的身高和其成年儿子身高的关系.收集了1078个父亲及其成年儿子身高的数据,画出了这里有两个变量：一个是父亲的身高，一个是成年儿子身高.为了研究二者关系.英国统计学家皮尔逊一张散点图.从图上看出:父亲及其成年儿子身高有关系,但没有明确的函数关系.类似的问题有：受教育程度和收入有什么关系？高考入学分数和大学学习成绩有什么关系？需要给出度量两变量的相互关系的指标.为了研究诸如此类的两变量的相互关系问题，特征中，最重要的就是本讲要讨论的协方差和相关系数前面我们介绍了
2、随机变量的数学期望和方差，数学期望反映了随机变量在概率意义下的平均值，方差则反映了随机变量相对于其均值的离散程度，这对我们了解随机变量有一定的帮助，随机变量，但对于二维我们除了关心的期望和方差外，还希望知道他们的关系，在反映分量之间关系的数字分析E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}的取值情况若X，Y相互独立，则E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=0若X，Y不相互独立，则E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}不一定等于零.于是E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}在一定程度上反映了X与Y的关系，称之为X与Y的协方差一协方差的定义1、定义：若E{[X－E(X)][Y－E(Y)]}存在，称
3、E{[X－E(X)][Y－E(Y)]}为随机变量X,Y的协方差.即,cov(X,Y)=E{[X－E(X)][Y－E(Y)]}记做cov(X,Y)大家可以由方差的定义思考协方差的由来=cov(X,X)；=cov(Y,Y)；注(1)若X与Y独立，则Cov(X,Y)=0证:(3)(2)1.cov(X,Y)＝cov(Y,X)；2.cov(aX,bY)＝abcov(X,Y),a,b是常数；3.cov(X1+X2，Y)＝cov(X1,Y)+cov(X2,Y).二、协方差的性质4.Cov(X,C)=0相互独立同分布，计算协方差解例1设随机变量且其方差为,令例2设随机变量的概率密度为问X和Y是否相互独立？
4、解⑴先求关于X和Y的边缘概率密度因为,所以X和Y不相互独立。⑵求X和Y的协方差所以=0.注意：Cov(X,Y)=0，但X,Y却不独立但它还受X与Y本身度量单位的影响.Cov(kX,kY)=k2Cov(X,Y)为了克服这一缺点，对协方差进行标准化:这就引入了相关系数.协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的关系，例如：为随机变量X和Y的相关系数.在不致引起混淆，也简记为定义:设D(X)>0,D(Y)>0,称相关系数及其性质已知二维随机变量的联合分布列为求：，0.300.120.180.100.180.12－11-201YX例3解 边缘分布律为与的协方差为:0.300.120.180.10
5、0.180.12－11-201YX下面求的方差:与的相互关系数为:考虑用X的线性函数a+bX近似的表示Y即X和Y以概率1线性相关.定义设随机变量X,Y的相关系数存在,2）ρXY＝－1，称X,Y负相关；1）ρXY＝1，称X,Y正相关；3）ρXY＝0，称X,Y不相关.注.ρXY＝0仅说明X,Y之间没有线性关系，但可以有其他非线性关系.若随机变量X与Y相互独立，则X与Y不相关，(X,Y)~N(μ1,σ21;μ2,σ22;ρ),则X,Y相互独立ρ＝0.但是此定理的逆定理不成立,即由ρXY＝0不能得到X与Y相互独立.但是,对于二维正态分布,则有推论设X服从(-1/2,1/2)内的均匀分布,而Y=co
6、sX,因而=0，即X和Y不相关.但Y与X有严格的函数关系，即X和Y不独立.例4EX=0E(XY)=0Cov(X,Y)=0X,Y具有明显的函数关系,只是没有线性关系例题5X-2-112140¼¼0¼001/4Y例6设随机变量相互独立，且解例7将一枚硬币重复掷n次，以分别表示正面向上和反面向上的次数，求的相关系数。解:满足故Cov(X,Z)=2,D(X)=4,D(Z)=2矩和协方差矩阵第四章第四节矩和协方差的定义若存在，称它为的阶原点矩，简称阶矩。若存在，称它为的阶中心矩。阶混合矩。若存在，称它为和的若存在，和的称它为阶混合中心矩。和是随机变量，设矩：协方差阵：二维随机变量(X,Y)记为随机变
7、量(X,Y)的协方差阵。n维随机变量3）C是非负定矩阵；对称阵三、协方差矩阵的性质例题10作业p1141,2p12122
