机器人技术第四章_机器人数学基础ppt课件.ppt

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1、机器人技术张秀丽北京交通大学机电学院10/7/2021本章内容刚体位姿的描述刚体位姿的空间变换正交坐标变换齐次坐标变换重点坐标变换学习方法思路清晰运用空间想象理解数学原理第四章机器人数学基础2刚体的几何表示：用其上的一个基点和过基点的标线表示，如刚体E可用标线pq表示。刚体的运动：刚体E由位置E1(p1,q1)运动到位置E(p,q)，其运动过程可以看作绕p1点的转动和p1点的移动的合成。一、刚体位姿描述3刚体的位姿：将描述刚体的3个位置（移动自由度）和3个姿态（转动自由度）简称为刚体位姿。刚体位姿描述方法：（1）建立参考坐标系（2）位置描述（3）姿态描述建立刚体坐标系，用单位矢量n、o

2、、a的方向余弦矩阵来描述。刚体的位姿yxzoybxbzbobonap一、刚体位姿描述4坐标系首先选定一个参考坐标系Σ0，在手爪上固定另一个坐标系ΣB。B的z轴设在手指接近物体的方向，称为接近矢量；y轴设在两夹持手指的中央连线方向，称为方位矢量；x轴根据右手法则确定，称为法向矢量。由Σ0中的3个正交单位向量描述手爪姿态。手部坐标系ΣBn:normalo:orientationa:approach连杆n末端关节ny0x0z0O0Obo(yb)方位矢量p基坐标系Σ0n(xb)法向矢量a(zb)接近矢量5方向余弦矢量B的方向余弦定义为B方向的单位矢量在三个坐标轴上的投影，即：6方向余弦矩阵设

3、坐标系Σ’(i’,j’,k’)与坐标系Σ(i,j,k)的原点重合，则x’、y’、z’轴在坐标系Σ中的方向余弦分别为：坐标系Σ’在Σ中的方向余弦矩阵为（以x’、y’、z’的方向余弦作为列向量）：三个列向量元素的平方和为1；坐标系Σ’的三个坐标轴两两正交，点积为0。上述余弦方阵中共有9个方向余弦，存在6个约束条件，因此，坐标系Σ’只有3个自由度。在方向余弦阵中，只有不同行或不同列的三个元素是相互独立的。方向余弦矩阵性质又称此矩阵为旋转矩阵。n、o、a的方向余弦矩阵为(4)R矩阵正交性:由于n、o、a为单位矢量因此矩阵R是正交矩阵。y0z0o0xbybzbobnoapx0旋转矩阵特点：既可以

4、作为姿态描述，又可以作为旋转算子，实现旋转运算。9用4×4的齐次矩阵来表示刚体位姿：称此矩阵为刚体位姿矩阵。或刚体位姿描述10（1）p0＝[000]T。（2）求R阵。例题：如图所示，坐标系Σb原点与基坐标系Σ原点重合，xb轴与x轴之间的夹角为θz，另外轴zb与轴z重合，求表示Σb相对于Σ的位置矢量p0和姿态矩阵R。解：于是得坐标系Σb与Σ0之间的方位关系，即旋转变换矩阵R为：11本章内容刚体位姿的描述刚体位姿的空间变换正交坐标变换齐次坐标变换重点坐标变换学习方法思路清晰运用空间想象理解数学原理第四章机器人数学基础12二、正交坐标变换1、沿坐标轴的平移Δx、Δy、Δz为沿坐标轴的移动量刚

5、体基点从p1平移到p：13绕x轴旋转角的旋转矩阵2、绕坐标轴的旋转绕y轴旋转角的旋转矩阵绕z轴旋转角的旋转矩阵y'z'θθx(x')θθx'z'(y')θθx'y'(z')yz(a)xyz(b)xyz(c)14（1）相对动坐标系的变换顺序：a）j系先绕i系的z轴转角，得m系；b）绕新m系的x轴转角，得变换后的j系。相对动坐标系的变换总变换矩阵：xiyiZi,Zmθθymxm,xjyjααzj3、绕两个坐标轴旋转变换15（2）相对参考坐标系的变换顺序：a）先绕参考系i的x轴旋转角,得n系；b）再将n系绕参考系的z轴旋转角，得j系。总变换矩阵：Xi,xnyiziznynααy

6、jxjzjθθθ相对定坐标系的变换3、绕两个坐标轴旋转变换16结论：坐标变换相对动系时，总变换矩阵中旋转矩阵相乘的顺序和变换顺序一致，变换矩阵右乘；相对参考系时，总变换矩阵中旋转矩阵相乘的顺序和变换顺序相反，变换矩阵左乘。3、绕两个坐标轴旋转变换（1）相对动坐标系的变换顺序：（2）相对参考坐标系的变换顺序：174、绕三个坐标轴旋转变换（1）欧拉变换（ZXZ)——绕动系旋转变换顺序：坐标系先绕z轴转过f角；再绕新坐标系x’轴转过q角；最后绕新坐标系的z’’轴转过y角。最终得到的坐标系Σb相对于Σ的欧拉变换矩阵。、、为欧拉角。(a)坐标系绕z轴转过φ角(b)新坐标系o-x'y'z'绕

7、x'轴转过q角(c)新坐标系o-x'y"z"绕z"轴转过y角欧拉变换：19欧拉变换矩阵R于是得式中：cq=cosq，sq=sinq，cf=cosfsf=sinf，cy=cosy，sy=siny20欧拉逆变换Atan2(x,y)：反正切，可根据两个参量的符号判断所求的角所在的象限。21g()()()偏转a横滚b俯仰xyzgabxyz（2）RPY变换——绕定系旋转横滚(Roll)：将船的行驶方向取为z轴，则绕z轴的旋转（a角）称横滚（回转）；俯仰(