计算方法 第7章 常微分方程数值解ppt课件.ppt

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1、计算方法北京工业大学应用数理学院杨中华第七章常微分方程数值解有很多实际问题是用微分方程建立其数学模型，但是目前只能对少量典型的微分方程求出相应的解析形式的解，而对于绝大多数的微分方程问题，很难或者根本不可能得到它的解析解。因此，研究求解微分方程的数值解是非常有意义的。我们知道微分方程是关于未知函数及导数的方程，包括常微分方程和偏微分方程。常微分方程所涉及的未知函数是一元函数；如果未知函数是多元的，则称为偏微分方程，偏微分方程数值解有另外独立的课程介绍。本章仅讨论常微分方程初值问题的数值解方法。7.1常微分方程的初值问题考虑如下常微分方程初值问题所谓求初值问题的数值解就是求其解析解在点处的

2、近似值一般采用等距节点的方式，也就是取，称为步长，并令，从求得，再从求得，依次求解就可得到y=y(x)在各点的数值解。(7.1)(7.2)定义7.1如果确定数值解的方法仅使用则称该方法为求解初值问题的单步法；如果确定的方法需要则称为该方法求解初值问题的多步法。一般的单步法形如在(7.3-1)式中右端无项可直接计算，称为显式单步法；而(7.3-2)公式无法直接计算必须通过解方程得到，称为隐式单步法。初值问题(7.3)(7.3-1)(7.3-2)如求解微分方程的线性多步法形如例如这两个计算公式均是线性二步法，而(7.4-1)式可以直接计算，是显式线性二步法；注意到(7.4-2)式中右端因此(

3、7.4-2)是一个关于的方程，是隐式线性多步法。初值问题(7.4)(7.4-1)(7.4-2)定义7.2设y(x)是初值问题的解析解，是按某数值方法在点所求的计算解，称为该数值方法的整体截断误差或总体截断误差；称为该数值方法在点的局部截断误差。显然局部截断误差是从到一个算法步骤所产生的误差，也就是在准确的前提下，的误差；初值问题(7.5)(7.6)所谓总体截断误差是算法从计算、再从计算、…、直到从计算这n+1个步骤所积累的总误差。因此局部截断误差与总体截断误差是不同的但有关联，特别如果在计算之前的是准确时，局部截断误差与总体截断误差是相同的。求解微分方程初值问题数值方法的收敛性问题是假定

4、每一步计算都没有舍入误差的前提下，讨论步长时，方法的总体截断误差是否趋于零的问题。初值问题定义7.3如果数值方法的局部截断误差可表示为则称这种数值方法的阶数是p。数值方法的阶数决定了该方法的收敛性和收敛速度。定义7.4设是初值问题在点的两个近似初值，是某数值方法从这两个初值开始所求的近似解，如果存在常数，当步长满足且时，有下式成立则称该数值方法是稳定的。初值问题定义7.4其含义是如果求解微分方程的数值方法以的任意两个初值作为起点，所得两近似解的误差将被两个初值的差所界定，进而可以推出，稳定的数值方法在求解过程中具有自动校正的性质，也就是从开始求解的近似解序列会落入积分曲线一个邻近通道内。

5、如下图所示：初值问题定理7.1设在区域内连续且关于y满足Lipschitz条件：存在常数L，使对任意和任意成立，则初值问题(7.1)存在连续可微且唯一的解。此处列出定理7.1的原因是因为以后的很多结论均是以Lipschitz条件为前提的。初值问题(7.7)7.2Euler方法1.Euler公式先从研究一阶微分方程初值问题的几何直观入手，问题(7.1)式可以表示为平面问题：这表明该微分方程的解析解所表示的积分曲线上每一点切线斜率等于函数的值，也就是说，积分曲线上每一点的切线方向可用二元函数表示，如图。求解此微分方程初值问题的困难在于二元函数中的y是所求的未知函数，除初始点的外其他点函数值均

6、未知，对于其他点的函数近似值，可使用如下方法求解：初值条件作为积分曲线的出发点以曲线在处的切线为方向，前进到直线得到，即欧拉方法这里称为步长。同样以点处的值为方向，前进到直线到，即如图所示，再从得到，从得到，…按此过程我们得到如下迭代公式：这就是著名的Euler公式。1)Euler公式是在处用向前差商推导而得；2)Euler公式的本质是用当前点的斜率来预测曲线下一个点的位置，然后用折线来近似所求的积分曲线；3)当h很小时折线对积分曲线的偏离不会太大，而且Euler公式具有自动校正的特点，即折线会向积分曲线靠拢欧拉方法(7.8)例7.1用Euler公式求解初值问题在处的近似值，取步长。解：

7、由Euler公式详细计算结果列表如下该问题的解析解为，因此在处，，3位有效数字n10.021.0200000020.041.0408000030.061.0624160040.081.0848643250.101.10816161欧拉方法2.截断误差现在我们对Euler方法进行误差分析，也就是讨论Euler公式的截断误差。1)局部截断误差设是微分方程初值问题的准确解，令则为Euler公式在处的局部截断误差，考虑在处的Taylor展开