2015届高考数学考前三个月必考题型过关练第6练处理好“线性规划问题”的规划理.doc

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1、第6练　处理好“线性规划问题”的规划题型一　不等式组所确定的区域问题例1　已知点M(x，y)的坐标满足不等式组则此不等式组确定的平面区域的面积S的大小是________．破题切入点　先画出点M(x，y)的坐标满足的可行域，再研究图形的形状特征，以便求出其面积．答案　1解析　作出不等式组表示的平面区域，如图所示，则此平面区域为△ABC及其内部，且点A(2,0)，B(0,1)，C(2,1)，于是，S＝×2×1＝1.题型二　求解目标函数在可行域中的最值问题例2　若变量x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值与最小值的和为________．破题切入点　先根据已知约束条件画

2、出可行域，再利用目标函数z＝2x＋y的几何意义，即可求得最大值与最小值．答案　6解析　画出可行域，如图所示，由图象，可得当y＝－2x＋z经过点B(2,0)时，zmax＝4；当y＝－2x＋z经过点A(1,0)时，zmin＝2.故填6.题型三　利用线性规划求解实际应用题例3　某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900人旅行，A，B两种客车的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为________元．破题切入点　设租用A，B两种型号的客车分别为x辆，y辆，总租金为z元，可

3、得目标函数z＝1600x＋2400y.结合题意，建立关于x，y的不等式组，计算A，B型号客车的人均租金，可得租用B型车的成本比A型车低，因此在满足不等式组的情况下尽可能多地租用B型车，可使总租金最低．答案　36800解析　设租用A，B两种型号的客车分别为x辆，y辆，所用的总租金为z元，则z＝1600x＋2400y，其中x，y满足不等式组(x，y∈N)画出可行域，可知在x＝5，y＝12时，可载客36×5＋60×12＝900(人)，符合要求且此时的总租金z＝1600×5＋2400×12＝36800，达到最小值．题型四　简单线性规划与其他知识的综合性问题例4　设变量x，

4、y满足约束条件则lg(y＋1)－lgx的取值范围为________．破题切入点　先画出不等式组所确定的可行域，将目标函数化为lg，利用数形结合的方法解t＝的最值，然后确定目标函数的最值，从而求其范围．答案　[0,1－2lg2]解析　如图所示，作出不等式组确定的可行域．因为lg(y＋1)－lgx＝lg，设t＝，显然，t的几何意义是可行域内的点P(x，y)与定点E(0，－1)连线的斜率．由图，可知点P在点B处时，t取得最小值；点P在点C处时，t取得最大值．由解得即B(3,2)；由解得即C(2,4)．故t的最小值为kBE＝＝1，t的最大值为kCE＝＝，所以t∈[1，]．

5、又函数y＝lgx为(0，＋∞)上的增函数，所以lgt∈[0，lg]，即lg(y＋1)－lgx的取值范围为[0，lg]．而lg＝lg5－lg2＝1－2lg2，所以lg(y＋1)－lgx的取值范围为[0,1－2lg2]．总结提高　(1)准确作出不等式组所确定的平面区域是解决线性规划问题的基础．(2)求解线性目标函数的最大值或最小值时，一般思路是先作出目标函数对应的过原点的直线y＝kx，再平移此直线．(3)求解线性规划应用题的一般步骤：①设出未知数；②列出线性约束条件；③建立目标函数；④求出最优解；⑤转化为实际问题．1．实数x，y满足则不等式组所围成图形的面积为____

6、____．答案　1解析　实数x，y满足它表示的可行域如图所示．不等式组所围成的图形是三角形，其三个顶点的坐标分别为(1,0)，(0,1)，(2,1)，所以所围成图形的面积为×2×1＝1.2．已知O是坐标原点，点A(－1，1)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则·的取值范围是________．答案　[0,2]解析　作出可行域，如图所示，由题意·＝－x＋y.设z＝－x＋y，作l0：x－y＝0，易知，过点(1,1)时z有最小值，zmin＝－1＋1＝0；过点(0,2)时z有最大值，zmax＝0＋2＝2，∴·的取值范围是[0,2]．3．若变量x，y满足约束条件且z＝

7、2x＋y的最大值和最小值分别为m和n，则m－n＝________.答案　6解析　画出可行域，如图阴影部分所示．由z＝2x＋y，得y＝－2x＋z.由得∴A(－1，－1)．由得∴B(2，－1)．当直线y＝－2x＋z经过点A时，zmin＝2×(－1)－1＝－3＝n.当直线y＝－2x＋z经过点B时，zmax＝2×2－1＝3＝m，故m－n＝6.4．设m>1，在约束条件下，目标函数z＝x＋my的最大值小于2，则m的取值范围为________．答案　(1,1＋)解析　变形目标函数为y＝－x＋，由于m>1，所以－1<－<0，不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．根据目标函数的

8、几何意义，