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1、参数区间估计引言前面，我们讨论了参数点估计.它是用样本算得的一个值去估计未知参数.但是，点估计值仅仅是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似值的误差范围，使用起来把握不大.区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷.譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若我们根据一个实际样本，得到鱼数N的极大似然估计为1000条.若我们能给出一个区间，在此区间内我们合理地相信N的真值位于其中.这样对鱼数的估计就有把握多了.实际上，N的真值可能大于1000条，也可能小于1000条.也就是说，我们希望确定一个区间，使我们能以比较高的可靠程度相信它包含真参数值.湖中鱼数的真值[]这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的，称为置信
2、概率，置信度或置信水平.习惯上把置信水平记作，这里是一个很小的正数.置信水平的大小是根据实际需要选定的.例如，通常可取置信水平=0.95或0.9等.根据一个实际样本，由给定的置信水平，我小的区间，使们求出一个尽可能置信区间.称区间为的置信水平为的教材已经给出了概率分布的上侧分位数（分位点）的定义，为便于应用，这里我们再简要介绍一下.在求置信区间时，要查表求分位数.设0<<1,对随机变量X，称满足的点为X的概率分布的上分位数.例如:设0<<1,对随机变量X，称满足的点为X的概率分布的上分位数.标准正态分布的上分位数例如:设0<<1,对随机变量X，称满足的点为X的概率分布的上分位数.分布的上分位数
3、自由度为n的设0<<1,对随机变量X，称满足的点为X的概率分布的上分位数.F分布的上分位数自由度为n1,n2的一、置信区间定义：满足设是一个待估参数，给定若由样本X1,X2,…Xn确定的两个统计量则称区间是的置信水平（置信度、置信概率）为的置信区间.分别称为置信下限和置信上限.一旦有了样本，就把估计在区间内.这里有两个要求:可见，对参数作区间估计，就是要设法找出两个只依赖于样本的界限(构造统计量)(X1,…Xn)(X1,…Xn)2.估计的精度要尽可能的高.如要求区间长度尽可能短，或能体现该要求的其它准则.1.要求以很大的可能被包含在区间内，就是说，概率要尽可能大.即要求估计尽量可靠.可靠度与精
4、度是一对矛盾，一般是在保证可靠度的条件下尽可能提高精度.~N(0,1)选的点估计为求参数的置信度为的置信区间.例1设X1,…Xn是取自的样本，二、置信区间的求法明确问题,是求什么参数的置信区间?置信水平是多少？寻找未知参数的一个良好估计.解：寻找一个待估参数和估计量的函数，要求其分布为已知.有了分布，就可以求出U取值于任意区间的概率.对给定的置信水平查正态分布表得对于给定的置信水平(大概率),根据U的分布，确定一个区间,使得U取值于该区间的概率为置信水平.使为什么这样取？对给定的置信水平查正态分布表得使从中解得也可简记为于是所求的置信区间为从例1解题的过程，我们归纳出求置信区间的一般步骤如下:
5、1.明确问题,是求什么参数的置信区间?置信水平是多少?2.寻找参数的一个良好的点估计T(X1,X2,…Xn)3.寻找一个待估参数和估计量T的函数S(T,),且其分布为已知.4.对于给定的置信水平，根据S(T,)的分布，确定常数a,b，使得P(a≤S(T,)≤b)=5.对“a≤S(T,)≤b”作等价变形,得到如下形式:则就是的100()％的置信区间.可见，确定区间估计很关键的是要寻找一个待估参数和估计量T的函数S(T,),且S(T,)的分布为已知,不依赖于任何未知参数(这样我们才能确定一个大概率区间).而这与总体分布有关，所以，总体分布的形式是否已知，是怎样的类型，至关重要.这里，我们主要讨论总
6、体分布为正态的情形.若样本容量很大，即使总体分布未知，应用中心极限定理，可得总体的近似分布，于是也可以近似求得参数的区间估计.教材上讨论了以下几种情形：单个正态总体均值和方差的区间估计.两个正态总体均值差和方差比的区间估计.下面我们举几个例子说明其应用方法.统计三大分布回顾记为分布1、定义:设相互独立,都服从正态分布N(0,1),则称随机变量：所服从的分布为自由度为n的分布.分布是由正态分布派生出来的一种分布.分布的密度函数为来定义.其中伽玛函数通过积分T的密度函数为：记为T～t(n).定义:设X～N(0,1),Y～,且X与Y相互独立，则称变量所服从的分布为自由度为n的t分布.2、t分布3、F
7、分布定义:设X与Y相互独立，则称统计量服从自由度为n1及n2的F分布，n1称为第一自由度，n2称为第二自由度，记作F~F(n1,n2).若X~F(n1,n2)，X的概率密度为定理1(样本均值的分布)设X1,X2,…,Xn是取自正态总体的样本，则有定理2(样本方差的分布)设X1,X2,…,Xn是取自正态总体的样本,分别为样本均值和样本方差,则有定理3设X1,X2,…,Xn是取自正态总体的样本,分别为
