用平移旋转解题.doc

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1、用平移、旋转、对称巧解几何问题谈静在证明和求值的诸多几何问题中，往往不能直接找到解题的突破口，那么我们就要另壁蹊径，就是要借助图形转换的方法来解题了。以下介绍三种方法：一、平移：将图形沿着一个方向移动一段距离例1如图1，在六边形ABCDEF中，AB//ED，AF//CD，BC//FE，AB=ED，AF=CD，BC=EF，又知对角线FD⊥BD，FD=24cm，BD=18cm，则六边形ABCDEF的面积为多少？此题显然不能直接运算，但只要将图形适当地分割并平移一下就可以了。解：本题初看无法下手，但仔细观察，题中彼此平行且相等的线段有三组，于是产生将△DEF平移到

2、△BAG，将△BCD平移到△GAF的位置。则长方形BDFG的面积等于六边形的面积。即S六ABCDEF=S正BDFG=18×24=432cm2二、旋转：将某图形绕着一个固定点转动到另一个位置，以此重新组合图形例2如图2，P为正方形ABCD内一点，若PA=a，PB=2a，PC=3a（a>0），求：（1）∠APB的度数；（2）正方形的边长。解：将△APB绕点B顺时针转90°，得△CQB，显然△CQB≌△APB，连接PQ，∠PBQ=90°，PB=QB=2a，所以∠PQB=∠QPB=45°，PQ=于是∠APB=90°＋45°=135°．（2）例3如图3，P是等边△AB

3、C内一点，PA=2，PB，PC=4，求BC的长。此题乍一看似乎无从着手，但只要运用旋转的方法来解题，就十分容易了。解：将△BPA绕点B旋转60°，则BA与BC重合，BP=BM，PA=MC，连接MP，则△MBP为正三角形，即，PC=4，因为，所以∠MPC=30°，又因为∠MPB=60°，所以∠CPB=90°，得BC．可见，经过旋转后的图形给我们的解题带来了很大的好处，是一种捷径．因此，我们应多多利用旋转的方法来解决更多的问题．三、对称（也可理解为翻折）：某图形对于某条线对称的图形例4作图设计，村庄A、B位于不平行的两条小河的两侧，若要在两条小河上各架设一座与河

4、岸垂直的桥，并要使A到B的路程最近，问桥应架在何处？解：此题看来很复杂，但利用对称的原理来稍做改变，问题就可以迎刃而解了。设河岸为L1、L2、L3、L4，L1//L2，L3//L4，作AA1⊥L1，BB1⊥L3，使AA1的长为L1与L2之间的距离．连接A1B1交L2于A2，交L3于B2，则A2、B2就是加桥的地址，再从A2、B2出发作两座桥。例5如图5，已知△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，∠ECF=45°，求证：EF2=EA2＋BF2。解：将△AEC和△BCF向内翻折，所以AE=EO，BF=OF，因为∠ECF=45°，所以AC与BC重合于OC，且∠E

5、OF=90°。则，即。可见，对称和翻折的方法可以有利地把条件集中在一起，这样就能很好地利用每一个条件来解题了。运用以上三种方法可以巧妙地把几何元素集中到一起，构成新的图形，也同时可以做到化复杂为简洁，化不规则图形为规则图形，更加一目了然．这样可以省去多不必要的过程，少走几个弯路，而同样达到解题的目的。几何问题往往是巧妙的，只要我们善于发现它的规律和特殊性，将图形稍做改变，往往会产生意想不到的效果。因此在做题时我们也应该细心观察图形，抓住一些重要的条件（例如：线段和角度），从而考虑怎样让图形的转换更为简洁一些。