多自由度系统振动微分方程ppt课件.ppt

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1、2-1多自由度体系振动微分方程主要问题2-1-1振动微分方程的建立2-1-2坐标耦合与坐标变换复杂系统的振动问题在任一瞬时的运动形态需要由n个广义坐标来描述，必须按照多自由度系统的振动理论来解决。对于具有n个自由度的振动系统，描述运动的微分方程是由n个相互耦合的二阶常微分方程组成的方程组。力学模型：弹簧-质量系统数学模型：常微分方程组Newton定律Lagrange方程影响系数法2-1-1振动微分方程的建立Newton定律（d’Alembert原理）建立运动微分方程x1x2F1(t)F2(t)F1(t)k1x1k2(x1-x2)F1(t)k3x2质

2、量m1、m2的静平衡位置为广义坐标x1、x2的原点运动微分方程为M1M2θ1θ2M1M2Kθ1θ1Kθ2(θ1-θ2)Kθ3θ2以角位移θ1、θ2为广义坐标，广义力！！广义坐标！！d’Alembert原理得运动微分方程Lagrange方程建立运动微分方程复杂多自由度系统，采用Newton定律（d’Alembert原理）有时会十分繁杂非自由质点系，采用分析力学的Lagrange方程，从系统的总体出发，由非矢量（动能、势能或广义力）来建立运动微分方程。对于n个质点的理想约束系统，设有s个完整约束，广义坐标数N=3n-s。系统中各质点位置矢径ri可表示为广义

3、坐标与时间t的函数，即系统的动能T为Lagrange方程的基本形式为广义力Qj的表达式为主动力为有势力主动力有势的Lagrange方程振动系统中的阻尼是非有势力。假设阻尼耗能函数为振动系统仅作用有有势力和阻尼力时，Lagrange方程举例上下FDMDxDθD仰俯摇摆xD-a1θDxD+a2θDθCxC以车体上D点的xD、θD为广义坐标，建立车体微幅振动微分方程将车体所受外力向D点简化为合力FD与MD计算系统的动能T和势能V考虑微振动，刚体质心位移xC及绕质心角位移θC为确定对应广义坐标的广义力。设虚位移δxD、δθD，非有势力FD和MD所做的虚功分

4、别为应用Lagrange方程。车体振动方程为对于n自由度系统，广义坐标为广义力为速度向量系统运动微分方程可以统一表示为如下的矩阵形式阻尼矩阵质量矩阵刚度矩阵广义力向量位移向量加速度向量若考虑阻尼因素影响系数法建立运动微分方程对于运动微分方程刚度矩阵K的元素kij和质量矩阵M的元素mij都具有明确的物理意义假设外力以准静态方式施加于系统作用在系统上的外力使其仅在第j个坐标上产生单位位移，其它坐标上都不产生位移如此施加的外力数值上是刚度矩阵K的第j列刚度矩阵K中的元素kij是使系统仅在第j个广义坐标上产生单位位移而在第i个广义坐标上所需施加的力元素kij

5、是在第i个广义坐标上施加的力假设系统受外力作用瞬间，只产生加速度而不产生位移作用在系统上的外力使其仅在第j个坐标上产生单位加速度，其它坐标上都不产生加速度质量矩阵M中的元素mij是使系统仅在第j个广义坐标上产生单位加速度而在第i个广义坐标上所需施加的力如此施加的外力数值上是质量矩阵M的第j列元素mij是在第i个广义坐标上施加的力m2mij、kij分别称为质量影响系数和刚度影响系数根据影响系数的物理意义可直接得到系统的质量矩阵M和刚度矩阵K，这种建立振动微分方程方法称为影响系数法举例x1=1m1m3x2=0x3=0k11k21k31k1·1k2·1建立

6、三自由度系统的振动方程m2m3m11m21m31m1·1m1举例建立双复摆系统的振动方程m1gm2g令h1·1l·1l·1h2·1I1·1I2·1m2h2·1m1h1·1m2l·1m11m21m12m22令θ1=1θ2=1k11k21m1gm2gm2gm1gk12k22对于实际工程问题中的静定结构体系，可采用柔度影响系数建立系统的振动微分方程，举例双自由度简支梁的振动方程F1F212F1=1δ11δ2112F2=1δ12δ22柔度矩阵δ中的元素δij是使系统仅在第j个广义坐标上受到单位力作用时相应于第i个广义坐标上所产生的位移。δij称为柔度影响系数柔度

7、矩阵miFi刚度矩阵与柔度矩阵具有如下关系？具有刚体自由度的系统的刚度矩阵K奇异柔度矩阵δ不存在位移形式的振动微分方程位移形式的振动微分方程不适用于具有刚体自由度的系统举例双自由度简支梁横向振动的微分方程F1F2EJFB=1δAB质量矩阵M、刚度矩阵K（柔度矩阵δ）的部分性质对称性δ=δTK=KT对于线弹性系统，由功的互等定理（麦克斯威尔互易定理）可证正定性质量矩阵M为正定矩阵刚度矩阵K为正定矩阵或半正定矩阵由分析力学当且仅当当具有稳定平衡位置具有随遇平衡位置正定系统半正定系统2-1-2坐标耦合与坐标变换振动微分方程的坐标耦合系数矩阵中非零的非对

8、角线元素称为耦合项惯性耦合弹性耦合耦合项的物理意义是什么惯性耦合无惯性耦合项时，