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1、故,令，则P可逆，且，所以为正定矩阵.例28(1999.Ⅲ)设A为实矩阵，E为n阶单位矩阵，已知矩阵，试证：当时，矩阵B为正定矩阵.证因为，所以B为n阶实对称矩阵，且对任意的实n维向量，有当时，有，于是当时，，所以B为正定矩阵.例29(1999.Ⅰ)设A为m阶实对称矩阵且正定，B为实矩阵，为B的转置矩阵，试证：为正定矩阵的充分必要条件是R(B)=n.证必要性设为正定矩阵，则对任意的实n维列向量，有，即.于是当时，有，因此齐次线性方程组B=只有零解，故.充分性因为，所以为实对称矩阵，若R(B)=n，则B=只有零解，从而对
2、任意的实n维列向量均有,又A为正定矩阵，所以对任意的实n维列向量，有于是当时，有，故是正定矩阵.目标测试题一、填空题1.设，且正交，则a=_______.2.设，则A的特征值为___________.3．(1998.Ⅰ)设A为n阶矩阵，，为A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵，若为A的一个特征值，则必有特征值_________.4.已知二次型为正定二次型，则t=_______.5.(2002.Ⅰ)已知二次型经正交变换可化为，则二、选择题1.已知三阶矩阵A有特征值-1，2，-3，，则的特征值是().(A)-30,15,-10，
3、(B)-5,10,-15，(C)-6,12,-18，(D)-1,2,-3.2.(1995.Ⅰ)设是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵有一个特征值等于().(A),(B),(C),(D).3.(1992.Ⅴ)矩阵的非零特征值为______.(A)1,(B)2,(C)3,(D)4.4.已知二次型经正交变换可化为标准形，则在条件下，二次型的最大值为().(A)2,(B)10,(C)5,(D)18.5.已知二次型是负定的，则t的取值为().(A)，(B)，(C)，(D).三、计算题1.求矩阵的特征值及特征向量.2.问下列各对矩阵
4、是否相似？(1)，；(2)，.3.设A=,求正交矩阵P，使为对角矩阵.4.用正交变换把二次型化成标准形，并写出相应的正交矩阵.5.(1997.Ⅳ)设矩阵A与B相似，且，(1)求a,b的值；(2)求可逆矩阵P，使.四、证明题1.设A是n阶方阵，则零是A的特征值的充分必要条件是.2.已知，证明为正定矩阵.第六章线性空间和线性变换内容提要线性空间线性空间：设V是一个非空集合，R是实数域，在V中定义两种运算(1)加法对任意两个元素，总存在唯一的一个元素与之对应，称为与的和，记为，并满足以下四条运算规律：(Ⅰ)；(Ⅱ)；(Ⅲ)V
5、中存在零元素，对任一，都有；(Ⅳ)对任意，存在，使得，，记为.(2)数量乘法（简称数乘）对任意元素及任意实数，总存在唯一的元素与之对应，称为与的积，记为，并满足以下四条运算规律：(Ⅴ)；(Ⅵ)；(Ⅶ)；(Ⅷ).则称集合V为R（实数域）上的线性空间（或向量空间），简称线性空间（或向量空间）.V中的元素不论其本来的性质如何，统称为（实）向量.凡是满足以上八条运算规律的加法及数乘运算，称为线性运算；凡定义了线性运算的集合一定为线性空间.子空间：设V是一个线性空间，W是V的一个非空子集，如果W对于V中所定义的加法和数乘两种运算
6、仍构成一个线性空间，则称W为V的子空间.设V为线性空间，W是V的子空间的充分必要条件是W对于V中的两种运算保持封闭，即(ⅰ)若；(ⅱ)若.基与维数：在线性空间V中，如果存在n个线性无关的向量，且V中任一向量均可由线性表示，则称是线性空间V的一个基.其中n称为线性空间V的维数.维数为n的线性空间称为n维线性空间，记为.线性空间同构：设V与是两个线性空间，如果存在V到的一个一一对应的映射f满足：(ⅰ)；(ⅱ).其中则称V与同构,而f称为同构映射.同构映射f具有的性质：(ⅰ)(ⅱ)V中的向量线性相关当且仅当中的向量组线性相关
7、.两个线性空间V与同构的充分必要条件是它们的维数相同.基变换与坐标变换坐标：设是线性空间Vn的一个基，对于任一元素，总有唯一确定的一组有序数，使，则称有序数组为向量在这个基下的坐标，记为过渡矩阵：设与是线性空间的两个基，且它们的关系为利用矩阵的运算，上式可表示为其中,则称矩阵C为从基到的过渡矩阵.坐标变换公式：设中的向量在下的坐标为，在基下的坐标为，且则有坐标变换公式，或.变换：设有两个非空集合A,B，如果对于A中任一元素按照一定规则，总有B中一个确定的元素和它对应，则称这个对应规则为从集合A到集合B的一个变换（或映射
8、），记作，并记,称为源，为像，A为源集，像的全体组成的集合为像集.线性变换：设Vn,Um分别是实数域上的n维和m维线性空间，是一个从Vn到Um的变换，如果满足(ⅰ)对于任意，有；(ⅱ)对于任意，任意.则称为从Vn到Um的线性变换.如果Vn=Um，则是从Vn到自身的一个线性变换，称为Vn中的线性变换.线性变换的基本性质：(ⅰ)(ⅱ)
