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时间:2020-09-04
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1、第十二讲合同变换与二次型的标准化教学目的:1.介绍合同变换:另一种对角化途径,只用于对称阵;2.对“可逆的矩阵变换”做个小结。3.介绍二次型及其矩阵形式;4.介绍二次型标准化的概念:与合同变换的关系。教学内容:第六章:§6.4合同变换;第七章:§7.1二次型及其标准形;§7.2二次型的标准化;教案提纲:§6.4合同变换一、合同变换:1.概念:定义6.5(又一种特殊形式的初等变换)2.合同变换的性质:二、合同变换的实施:“对称初等变换”例6.8,p.140。三、合同标准形:1.规范形(合同标准形);定义6.6;2.惯性指数:惯性定理(定理6.17)→定义6.7
2、;¯正交变换:既是相似变换,也是合同变换,更是初等变换。¯小结:四个矩阵变换的比较:第七章二次型§7.1二次型及其标准形一、二次型:1.二次型的概念:(从一般的二元二次方程引入)定义7.1:两种写法:(7.1)式、(7.2)式,系数的对称性设定;2.二次型的矩阵形式:与实对称阵的一一对应,“二次型的秩”。(举例、练习:学会函数形式与矩阵形式的互化)。二、二次型的标准形:1.标准形(法式)的概念:由二次曲面的标准方程引入,定义7.2;¯与对角阵的对应;2.标准化:与合同变换的对应。,使找可逆阵,使为对角阵§7.2二次型的标准化一、正交变换法:¯理论上没有新内容
3、,用示例讲清实施步骤:二次型→→求特征值→求正交的特征向量组(Schmidt正交化法或添方程法)→分别单位化→构成正交变换阵→验证→得到标准形(是唯一确定的)。例:,,特征值,进而得特征向量,它们已经互相正交,单位化后即得到正交阵。可对它作两方面验证:一方面,;另一方面,将相应的变换,即代入原二次型,得;易见两者的一致性。作业:p.147:20(1、4);p.151:56;p.168:1(3、4)、2(3、4)、l备例
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