机械优化设计作业-10-搜索区间的确定与区间消去法原理---副本.docx

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1、1《机械优化设计》课程作业（2014至2015学年度第2学期）班级学号姓名1第二节搜索区间的确定与区间消去法原理欲求一元函数f(ɑ)极小点α∗（为书写方便，这里仍用同一符号f表示相应的一元函数），必须先确定α∗所在的区间。一、确定搜索区间的外推法在一维搜索时，假设函数f(ɑ)具有如图3-1所示的单谷性，即在所考虑的区间内部，函数f(ɑ)有唯一的极小点α∗。为了确定极小点α∗所在的区间[a，b]，应使函数f(ɑ)在区间[a，b]里形成“高—低—高”趋势。为此，从ɑ=0开始，以初始步长h0向前试探。如果函数值上升，则步长变号，即改变试

2、探方向；如果函数值下降，则维持原来的试探方向，并将步长加倍。区间的始点、中间点依次沿试探方向移动一步。此过程一直进行到函数值再次上升时为止，即可找到搜索区间的终点。最后得到的三点即为搜索区间的始点、中间点和终点，形成函数值的“高—低—高”趋势。图3-2表示沿ɑ的正向试探。每走一步都将区间的始点、中间点沿试探方向移动一步（进行换名）。经过三步，最后确定搜索区间[α1,α3]并且得到区间始点、中间点和终点α1<α2<α3对应的函数值y1>y2

3、到始点、中间点和终点α1>α2>α3及它们的对应函数值y1>y2f(b1),如图3-5

4、b所示。同理，极小点应在区间[a1,b]内。3）f(a1)=f(b1),如图3-5c所示，这是极小点应在[a1,b1]内。根据以上所述，只要在区间[a,b]内取两个点，算出它们的函数值并加以比较，就可以把搜索区间[a,b]缩短成[a1,b1]、[a,b1]或[a1,b]。应当指出，对于第一种情况，我们已算出区间[a,b1]内a1点的函数值，如果要把搜索区间[a,b1]进一步缩短，只需在其内再取一点算出函数值并与f(a1)加以比较，即可达到目的。对于第二种情况，同样只需再计算一点函数值就可以把搜索区间继续缩短。第三种情况与前面两种情

5、况不同，因为在区间[a1,b1]内缺少已算出的函数值，要想把区间[a1,b1]进一步缩短，需在其内部取两个点（而不是一个点）计算出相应的函数值再加以比较才行。如果经常发生这种情况，为了缩短搜索区间，需要多计算一倍数量的函数值，这就增加了计算工作量。因此，为了避免多计算函数值，应把第三种情况合并到前面两种情形中去。例如，可以把前面三种情况改为下列两种情况：1）若f（a1)=f(b1),则取[a1,b]为缩短后的搜索区间。三、一维搜索方法的分类从上述的分析中可知，每次

6、为了缩短区间，只需要在区间内再插入一点并计算其函数值。然而，对于插入点的位置，则可以通过不同的方法来确定。这样就6形成了不同的一维搜索方法。概括起来，可将一维搜索方法分成两大类。一类称为试探法。这类方法是按某种给定的规律来确定区间内插入点的位置的。此点位置的确定仅考虑加快区间缩短速度，而不顾及函数值的分布关系。属于试探法一维搜索方法的有黄金分割法、斐波那契（Fibonacci）法等。另一类一维搜索方法称为插值法或函数逼近法。这类方法根据某些点处的某些信息，如函数值、一阶导数、二阶导数等，构造一个插值函数来逼近原来函数，用插值函数的

7、极小点作为区间的插入点。属于插值法一维搜索方法的有二次插值法、三次插值法等。7