每周讲讲可导可微与连续的关系.doc

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1、可导、可微以及连续之间的关系●讲义内容：设函数在的邻域内有定义，如果在处可导，那么在处必然连续.★讲解：函数在处可导，即存在，由于时，分母，故分子，即函数在处连续。但是，这个命题的逆命题不成立，如在点处是连续但不可导的。另外，我们也可以从图形的角度区别可导与连续，可导指的是函数的图像是一条光滑的曲线，而连续是指函数的图像不间断。●讲义内容：设函数在的邻域内有定义，那么函数在处可微与函数在处可导是等价的，也就是说：可微必可导，可导必可微.进一步地，我们还可以得到在处的微分.★讲解：若函数在处可微，则。根据导数的定义，，故可微必可导。反之，若函数在处可导，则存在

2、，不妨记，得，即，由高阶无穷小的定义可知：，也即，故可导必可微。从该证明过程中也可以看出，函数在处可微时，，其中的。讲解：简单解释一下上述定理的意义：首先，可导的函数必连续，这几乎是高等数学中最基本的结论之一了。它在解题时可以给我们一些隐藏的条件，只要题目中告诉了函数是可导的，也就意味着函数连续。另外，透过可导与可微的关系，我们可以弄清楚微分的几何意义同时，由于可导与可微等价，而微分的计算也等价与导数的计算，因此，对一元函数来说，只要弄清了导数，也就弄清楚了微分。而导数无论从理解的角度还是从应用的角度都要比微分方便很多，所以微积分将研究的重点放在了导数上。