系统辨识（System Identification）课程计稿：第23讲.doc

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1、《系统辨识》第23讲要点第11章闭环系统辨识11.5闭环系统的阶次辨识假设闭环系统是可辨识的，是给定信号（可加在控制器前，也可加在控制器后），多项式结构如图P378用一增广模型描述前向通道：此式中，是一虚构的辅助模型，记作：其阶次（相当于给定一摄动信号）。若指定、和的阶次分别为、和，则利用输入输出数据可获得此模型的估计量，记做、和。（1）如果，，则有，，同时辅助模型的估计量，即对输出量没有直接映射作用（适阶情况）；（2）如果，，此时、将偏离和，且不趋于零（欠阶情况）；（3）如果，，也有不趋于零，此时其中：表示

2、控制器的真实模型。对给定的系统来说，7是一确定的多项式，其阶次将使的阶次等于，的阶次等于（超阶情况）。由以上情况的讨论，观察不同阶次时对辅助模型的收敛性趋势，以此可以确定前向通道上模型的阶次。当时的阶次可以认为是比较接近实际过程的模型阶次。11.6最小二乘法在闭环辨识中的应用讨论最小二乘法在闭环直接辨识中的应用，辨识对象如图P381。其中是互不相关，分别服从正态分布的白噪声，和是前向通道和反馈通道上的纯延迟，则我们有：前向通道模型：反馈通道模型：定义：其中：是数据的长度。因此，对于前向通道模型，利用最小二乘法

3、，可以直接获得模型的最小二乘估计值：以下讨论唯一性和一致性问题：7A．唯一性：具有唯一性的充分必要条件是矩阵可逆。令：（A）则参数估计具有唯一性的条件等价于为非奇异矩阵。令：由此得：再定义：则有：将上式代入式子（A），有：其中：和分别为相应变量的相关函数矩阵。（注意维数）下面分三种情况讨论：（1）及，则满秩具有唯一解；（2）而，则由7可以退职或时，具有唯一解；（3）而，可以推知无条件具有唯一解。A．一致性：一致性即要证明：（C）由于因为在满足可辨识条件时，是唯一存在的，因此（C）成立等价于（1）先考虑数学期望

4、：由于：当或时，成立。7（1）再考虑方差：设是平稳随机过程，令：则有：其中：是的自相关函数。利用此结论，我们有的前个元素的方差为：利用公式：我们有：又：我们有：如果系统是稳定的，有界，则也有界，当时，故前个元素的方差为零；同理可以证明的后个元素的方差也为零。因此有：7结论：在最小二乘意义下，如果闭环系统稳定可辨识的，且前向通道或反馈通道至少一个存在纯延迟，则是一致收敛的。11.7辅助变量法在闭环辨识中的应用讨论辅助变量法在闭环直接辨识中的应用，辨识对象如图P386。前向通道上的模型为：反馈通道上的模型为：其中

5、：为均值是零的有色噪声。假设在给定端也加入激励信号，将系统的输入输出量分解成：其中的脚标表示相应的变量是由或激励生成的，显然和与不相关。若用和代替和构成辅助矩阵，记作：其中：那么，利用辅助变量法，可得参数估计值：（D）由于与不相关，故可以是无偏估计值。但由于中的和是不可观测的，因此只能通过迭代方法计算得到。7（E）其中：可观测，假设已知。若代替上式中的，因此可由（D）和（E）迭代计算参数估计值。即11.8关于闭环可辨识性条件的一些结论P375。7