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《Matlab在常微分方程求解中的应用ppt课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、Matlab在常微分方程求解中的应用实验目的（1）学会用Matlab软件求解微分方程的初值问题（2）了解微分方程数值解思想，掌握基本的微分方程数值解方法（3）学会根据实际问题建立简单微分方程数学模型（4）了解计算机数据仿真、数据模拟的基本方法17世纪：初等解法18世纪：初等解法和无穷级数方法19世纪：解的存在性、奇点理论、定性理论、稳定性理论包含一个自变量和它的未知函数以及未知函数的导数的等式形成和发展与力学、天文学、物理学及其他自然科学技术的发展互相促进和推动常微分方程定理设函数在区域上连续，且
2、在区域D内满足李普希兹(Lipschitz)条件，即存在正数L，使得对于R内任意两点与,恒有则初值问题(1)的解存在并且唯一。常微分方程的解析解求微分方程（组）的解析解命令:dsolve(‘方程1’,‘方程2’,…‘方程n’,‘初始条件’,‘自变量’)结果：u=tg(t-c)记号：在表达微分方程时，用字母D表示求微分，D2、D3等表示求高阶微分。D后所跟字母为因变量，自变量可以指定或由系统规则选定为缺省。例如：微分方程可以表示为D2y=0.解输入命令:y=dsolve('D2y+4*Dy+29*y
3、=0','y(0)=0,Dy(0)=15','x')结果为:y=3e-2xsin（5x）解输入命令：[x,y,z]=dsolve('Dx=2*x-3*y+3*z','Dy=4*x-5*y+3*z','Dz=4*x-4*y+2*z','t')；x=simple(x)%将x化简y=simple(y)z=simple(z)结果为：x=(c1-c2+c3+c2e-3t-c3e-3t)e2ty=(c1e-4t+c2e-4t+c2e-3t-c3e-3t+c1-c2+c3)e2tz=(-c1e-4t+c2e-4
4、t+c1-c2+c3)e2t虽然说解析解是最精确的，但是实际问题中常要求研究常微分方程的数值解常微分方程的数值解常微分方程中只有一些典型方程能求出初等解(用初等函数表示的解)。另外，有些初值问题虽然有初等解，但由于形式太复杂不便于应用。因此，有必要探讨常微分方程初值问题的数值解法。以下主要介绍一阶常微分方程初值问题几种经典数值解方法：欧拉法及改进的欧拉法。其它方法：龙格-库塔法、阿达姆斯方法；一阶微分方程组与高阶方程初值问题的数值解法；二阶常微分方程值问题的差分方法等。求解常微分方程初值问题的数值
5、解的整体思路：（1）寻求准确解在一系列离散节点：上的近似值称为问题的数值解，数值解所满足的离散方程统称为差称为步长，实用中常取定步长。分格式，建立数值解法的一些途径1、用差商代替导数若步长h较小，则有故有公式：此即欧拉法Euler法的几何意义:找到了积分的一条近似折线2、使用数值积分对方程y`=f(x,y),两边由xi到xi+1积分，并利用梯形公式，有：实际应用时，与欧拉公式结合使用：此即改进的欧拉法故有公式：3、使用泰勒公式以此方法为基础，有龙格-库塔法、线性多步法等方法。4、数值公式的精度当一
6、个数值公式的截断误差可表示为O（hk+1）时（k为正整数，h为步长），称它是一个k阶公式。k越大，则数值公式的精度越高。欧拉法是一阶公式，改进的欧拉法是二阶公式。龙格-库塔法有二阶公式和四阶公式。线性多步法有四阶阿达姆斯外插公式和内插公式。ODE指令列表MATLAB用於求解常微分方程式的指令:指令方法应用ODE类别ode45ExplicitRunge-Kutta(4,5)pairofDormand-PrinceNonstiffODEode23ExplicitRunge-Kutta(2,3)pair
7、ofBogackiandShampineNonstiffODEode113VariableorderAdams-Bashforth-MoultonPECEsolverNonstiffODEode15sNumericaldifferentiationformulas(NDFS)StiffODEode23sModifiedRosenbrockformulaoforder2StiffODEode23tTrapezoidalrulewitha“free”interpolantStiffODEode23tb
8、ImplicitRunge-KuttaformulawithabackwarddifferentiationformulaofordertwoStiffODE适用于Nonstiff系統速率（即微分值）差异相常大使用一般的ode45、ode23或ode113來求解,可能会使得积分的步长(StepSizes)变得很小,以便降低积分误差至可容忍范围以內,会导致计算时间过长专门对付Stiff系统的指令，例如ode15s、ode23s、ode23t及ode23tb指令项目繁多，最主要可分两大
