函数的连续性ppt课件.ppt

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1、第四节函数的连续性高等数学01-04-01一、函数的连续性二、函数的间断点三、连续函数的性质高等数学01-04-02yxOyxOy=f(x)y=f(x)x0连续(continuous)间断(discontinuous)高等数学01-04-03增量(increment)设函数y=f(x)在x0点及其附近有定义，自变量x在x0点有一个增量x，当x从x0变到x0+x时，函数y相应地从f(x0)变到f(x0+x)，则称函数值的差f(x0x)f(x0)为函数f(x)在x0点对应的增量，记为y=f(x0

2、x)f(x0)注增量指改变量，可正可负。高等数学01-04-04Dyy=f(x)f(x0)x0+xf(x0+x)x0高等数学01-04-05xyO连续(continuous)设函数y=f(x)在点x0及其附近有定义，若当自变量x在点x0的增量x趋于零时，对应的函数增量y=f(x0+x)-f(x0)也趋于零，即高等数学01-04-06则称函数y=f(x)在点x0连续。连续设函数y=f(x)在x0点及其附近有定义，如果函数f(x)当xx0时的极限存在，且等于它在x0点的函数值，即高等数学01

3、-04-07则称函数f(x)在x0点连续。函数在点x0连续的三点要求：（1）f(x)在点x0有定义；（2）极限存在；（3）。高等数学01-04-08有定义有极限连续高等数学01-04-09左连续(left-handcontinuity)设函数y=f(x)在x0点及其附近有定义，若高等数学01-04-10则称函数f(x)在x0点左连续。右连续(right-handcontinuity)设函数y=f(x)在x0点及其附近有定义，若高等数学01-04-11则称函数f(x)在x0点右连续。显然有高等数学01-04

4、-12开区间内的连续函数若函数f(x)在开区间(a,b)内的每一点都连续，则称f(x)在开区间(a,b)内连续，并称函数f(x)是(a,b)内的连续函数。高等数学01-04-13闭区间上的连续函数若函数f(x)在开区间(a,b)内连续，且在左端点a右连续，在右端点b左连续，则称函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，并称f(x)是[a,b]上的连续函数。高等数学01-04-14间断点(discontinuitypoints)函数y=f(x)如果在x0点不连续，则称x0点是函数y=f(x)的间断点。有下列三种

5、情况：（1）f(x)在点x0没有定义；（2）极限不存在；（3）。高等数学01-04-15高等数学01-04-16第一类间断点设x0点是函数y=f(x)的一个间断点，若单侧极限，都存在，则称x0点为第一类间断点，非第一类间断点称为第二类间断点。高等数学01-04-17可去间断点在第一类间断点中，左右极限相等者称为可去间断点，不相等者称为跳越间断点。无穷间断点若当时，，称x0点为无穷间断点。例讨论函数的间断点。高等数学01-04-18例讨论函数在x=1点的连续性。高等数学01-04-19yxOy=-x+321

6、12y=-x+1高等数学01-04-20例讨论函数的间断点。高等数学01-04-21高等数学01-04-22（1）（2）课堂讨论题讨论下列函数的连续性。定理（连续函数的和、差、积、商的连续性）如果函数f(x)和g(x)都在x0点连续，则函数f(x)g(x)，f(x)g(x)及f(x)/g(x)(g(x)0)在x0点连续。高等数学01-04-23定理（复合函数的连续性）如果函数u=(x)在x0点连续，且u0=(x0)，又函数y=f(u)在u0点连续，则复合函数y=f[(x)]在x0点连续。即高等

7、数学01-04-24初等函数的连续性基本初等函数在其定义域内都是连续的。高等数学01-04-25一切初等函数在其定义区间内都是连续的。例求极限高等数学01-04-26例求极限高等数学01-04-27课堂讨论题求下列函数极限。高等数学01-04-28提示：令xe=y定理（最大值和最小值定理）若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在该区间上必能取到最大值和最小值。闭区间上的连续函数的性质高等数学01-04-29byOxay=f(x)f(b)f(a)NM高等数学01-04-30定理（介值定理）若函

8、数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在两个端点处的函数值f(a)和f(b)不相等，则对介于f(a)与f(b)之间的任何值c，在开区间(a,b)内至少存在一点，使得f()=c(a<