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《函数、极限、连续重要概念公式定理.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯一、函数、极限、连续重要概念公式定理（一）数列极限的定义与收敛数列的性质数列极限的定义：给定数列xn如果存在常数A对任给0,存在正整数N,使当nN时恒有,,,xnA,则称A是数列xn的当n趋于无穷时的极限,或称数列xn收敛于A,记为limxnA.若nxn的极限不存在,则称数列xn发散.收敛数列的性质：(1)唯一性：若数列xn收敛,即limxnA,则极限是唯一的．n(2)有界性：若limxnA,则数列xn有界即存在M0,使得对n均有xnM.n,(3)局部
2、保号性：设limxnA且A0或A0,则存在正整数当nN时有n0或n0.n,N,,xx(4)若数列收敛于A,则它的任何子列也收敛于极限A.（二）函数极限的定义名称表达式任给存在当⋯时恒有当xx0时,fx以limfxA000xx0fxAA为极限xx0当x时,fx以limfxA0X0xXfxAA为极限x当xx0时,fxlimfxAxx0000x0xx0fxA以A为右极限deffx00当xx0时,fxlimfxAxx0000x0xx0fxA以A为左极限deffx00当x时,fxlimfxAx0X0xXfxA以A为极限deff当x时,fx以limfxAx0
3、X0xXfxAA为极限deff（三）函数极限存在判别法(了解记忆)1．海涅定理：limfxA对任意一串nx0n01,2,,都有limfxnA．xxx,nnxx02.充要条件：(1)limf(x)AlimfxlimfxA;xx0xx0xx0(2)limf(x)Alimf(x)limf(x)A.xxx1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3.柯西准则：limfxA对任意给定的0,存在0,当xx00x1x0,0x2x0时,有fx1fx2.4.夹逼准则：若存在0,当0xx0时,有（x)f(x)(
4、x),且lim(x)lim(x)A,则xx0xx0limf(x)A.xx05.单调有界准则：若对于任意两个充分大的x1,x2,x1x2,有fx1fx2(或fx1fx2),且存在常数M,使fxM(或fxM),则limfx存在.x（四）无穷小量的比较(重点记忆)1.无穷小量阶的定义,设lim(x)0,lim(x)0.(1)若lim(x)0,则称(x)是比（x)高阶的无穷小量.(x)(2)若lim(x),则(x)是比（x)低阶的无穷小量.(x)(3)若lim(x)c(c0),则称(x)与（x)是同阶无穷小量.(x)(4)若lim(x)1,则称(x)与（
5、x)是等价的无穷小量,记为(x)(x).(x)(5)若lim(x)c(c0),k0,则称(x)是（x)的k阶无穷小量k(x)2.常用的等价无穷小量(命题重点,历年必考)当x0时,sinxarcsinx1tanx1coxs2~x,~xarctanx2(1x)1~x是实常数ln(1x)ex1（五）重要定理(必记内容,理解掌握)定理1limf(x)Af(x0)f(x0)A.xx0定理2limf(x)Af(x)Aa(x),其中lima(x)0.xx0xx0定理3(保号定理)：设limf(x)A,又A0(或A0),则一个0,当xx0x(x0,x0),且xx
6、0时，f(x)0(或f(x)0).定理4单调有界准则：单调增加有上界数列必有极限;单调减少有下界数列必有极限.定理5(夹逼定理)：设在x0的领域内,恒有（x)f(x)(x),且lim(x)lim(x)A,则limf(x)A．xx0xx0xx02⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯定理6无穷小量的性质：(1)有限个无穷小量的代数和为无穷小量;(2)有限个无穷小量的乘积为无穷小量;(3)无穷小量乘以有界变量为无穷小量．定理7在同一变化趋势下,无穷大量的倒数为无穷小量;非零的无穷小量的倒数为无
7、穷大量．定理8极限的运算法则：设limfxA,limgxB,则(1)lim(f(x)g(x))AB(2)limf(x)g(x)AB(3)limf(x)A(B0)Bg(x)定理9数列的极限存在,则其子序列的极限一定存在且就等于该数列的极限．定理10初等函数在其定义域的区间内连续．定理11设fx连续,则fx也连续．（六）重要公式(重点记忆内容,应考必备)(1)sinx1limxx011(2)lim(1x)xe,lim(1)ne.(通过变量替换,这两个公式可写成更加一般的形式：设x0nnlimfx0,且fxsinfx,lim1fx0则有lim1fx0,
8、nm(3)lima0xna1xn1an1xana0,nm．b0xmb1xm1bm1xbmb0x,nm1fxe)(4)函数fx在xx0处
