理数导数压轴题：极值点偏移问题的不等式解法.docx

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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯极值点偏移问题的不等式解法我们熟知平均值不等式：a,bR2aba2b21ab221ab即“调和平均数”小于等于“几何平均数”小于等于“算术平均值”小于等于“平方平均值”等号成立的条件是ab.我们还可以引入另一个平均值：对数平均值：ablnalnb那么上述平均值不等式可变为：对数平均值不等式ab,ab，＜ab＜abablnalnb2以下简单给出证明：不妨设ab，设abx，则原不等式变为：x1,2(x1)lnxx1x1x以下只要证明上述函数不等式即可.以下我们来看看对数不等式的作用.题目1：（2015

2、长春四模题）已知函数f(x)exax有两个零点x1x2，则下列说法错误的是A.aeB.x1x22C.x1x21D.有极小值点x0，且x1x22x0【答案】C【解析】函数f(x)导函数：f'(x)exa有极值点xlna，而极值f(lna)aalna0，ae，A正确.f(x)有两个零点：ex1ax10，ex2ax20，即：x1lnalnx1①x2lnalnx2②1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯①-②得：x1x2lnx1lnx2根据对数平均值不等式：x1x2x1x21x1x22lnx1lnx2x1x22，而1x1x2，x1x21B正

3、确，C错误而①+②得：x1x22lnalnx1x22lna，即D成立.题目2：（2011辽宁理）已知函数fxlnxax2(2a)x.若函数yfx的图像与x轴交于A,B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f'x00【解析】原题目有3问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去证明第三问：设A(x1,f(x1))，B(x2,f(x2))，x1x2，则x0x1x2，2lnx1ax12(2a)x10①lnx2ax22(2a)x20②①-②得：lnx1lnx2a(x1x2)(x1x2)(2a)(x1x2)0，化简得：1x1x20③a(x1x2)(2a)lnx1lnx2而根据对数平

4、均值不等式：x1x2x1x2lnx1lnx22③等式代换到上述不等式1x1x21x0④a(x1x2)(2a)22ax0(2a)根据：2ax0(2a)x00（由③得出）∴④式变为：2ax02(2a)x010(2x01)(ax01)0∵(2x01)0，∴x01，∴x0在函数单减区间中，即：af'(x0)02⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯题目3：(2010天津理)已知函数fxxexxR.如果x1x2，且fx1fx2.证明：x1x22.【解析】原题目有3问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去证明第三问：设f(x

5、1)f(x2)c，则xx1c，xx2c，(x1x2)两边取对数e1e2lnx1x1lnc①lnx2x2lnc②①-②得：x1x21lnx1lnx2根据对数平均值不等式x1x2x1x212lnx1lnx2x1x22题目4：（2014江苏南通市二模）设函数fxexaxaaR，其图象与x轴交于Ax1,0Bx2,0两点，且x1x2.证明：fx1x20（fx为函数fx的导函数）.【解析】根据题意：ex1ax1a0，ex2ax2a0移项取对数得：x1ln(x11)lna①x2ln(x21)lna②①-②得：x1x2ln(x11)ln(x21)，即：(x11)(x21)1ln(x11)ln(x21)根据对

6、数平均值不等式：3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(x11)(x21)(x11)(x21)ln(x11)ln(x211)(x11)(x21)1ln(x11)(x21)0，①+②得：x1x22lnaln(x11)(x21)2lna根据均值不等式：x1x2x1x2lna2∵函数f(x)在(,lna)单调递减∴f'(x1x2)0题目：已知函数f(x)xlnx与直线ym交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点.51求证：0x1x2e2【解析】由x1lnx1m，x2lnx2m，可得：x1m①，x2m②lnx1lnx2①-②得：x1x2m

7、(lnx2lnx1)x1x2m③lnx1lnx2lnx1lnx2lnx1lnx2①+②得：xx2m(lnx2lnx1)④1lnx1lnx2根据对数平均值不等式x1x2mx2)2lnx1(x1lnx2利用③④式可得：m(lnx1lnx2)m2lnx1lnx2lnx1lnx2由题于ym与yxlnx交于不同两点，易得出则m0∴上式简化为:ln(x1x2)2lne24⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新