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1、第16讲定积分的概念引言曲边梯形的面积变速直线运动的路程定积分的定义牛顿-莱布尼兹公式一、曲边梯形的面积青稞、小麦、豌豆、油菜1.曲边梯形的面积已知:y=f(x)[a,b]求面积A.各种复杂图形的面积都可以化为曲边梯形来计算:⑴分割[a,b]⑵近似代替,任取ξi∈[xi-1,xi]则ΔAi≈f(ξi)Δxi⑶取极限（当区间[a,b]被无限细分时)即得曲边梯形面积A.(λ→0表示[a,b]被无限分细)其中λ=max{Δx1,Δx2,…,Δxn}2.变速直线运动的路程2019年10月20日“神州”火箭发射和回收成功列车在某时间间隔内行驶的路程已知：速度v=v(t),求在时间区间[t0,T]内火箭上
2、升的速度.1.若作匀速直线运动:v=常数则高度=速度v×时间(T-t0)2.若作变速直线运动，采用分割时间区间[t0,T]的方法⑴分割[t0,T]0t0t1t2ti-1tiT=tnt⑵在[ti-1,ti]内，近似匀速：ΔSi≈v(ξi)Δti其中ξi∈[ti-1,ti]为任取。于是区间[t0,T]内火箭上升的高度为：⑶其中λ=max{Δt1,Δt2,…,Δtn}曲边梯形的面积：变速直线运动的路程：实际背景不同，数学模型相同由此抽取出定积分的概念.二.定积分的定义设y=f(x)在[a,b]上有定义,任取ξi∈[xi-1,xi],记,λ=max{Δxi}若极限存在.若极限存在.称f(x)在[a,b
3、]上可积,称此极限值为f(x)在[a,b]上的定积分,记为:f(x):被积函数[a,b]:积分区间a:积分下限b:积分上限x:积分变量由此定义知曲边梯形面积：(其中f(x)>0)(这也是定积分的几何意义)变速直线运动的路程：注1:定积分是一个数值(与不定积分不同),此数值与[a,b]的分法无关,与ξi的取法无关.只依赖于f(x)和[a,b].注2:定积分与积分变量无关.这类似于：注3:定积分的几何意义当f(x)≥0时曲边梯形面积A注3:定积分的几何意义当f(x)≤0时(A为面积)当f(x)符号不定时,例如=A1－A2＋A3－A4＋A5A1＋A2＋A3＋A4＋A5注4:定积分存在定理若f(x)在
4、[a,b]连续,或者至多有有限个第一类间断点,则f(x)在[a,b]上可积,即存在.三.牛顿-莱布尼兹公式若,f(x)连续则定理2牛顿–莱布尼兹公式积分上限的函数及其导数则变上限函数定理1.若f(x)[a,b]连续则φ(x)是[a,b]上的一个原函数证:则有因为f(x)[a,b]连续若,f(x)连续则定理2牛顿–莱布尼兹公式根据定理1证例1解释:路程函数S=S(t)速度函数v=v(t)=从t=a到t=b,路程为S(b)－S(a),另一方面,路程为,故说明:⑴定理1证明了连续函数的原函数是存在的.同时为通过原函数计算定积分开辟了道路.⑵变限积分求导:例2例3=1+1=2例4与不定积分的计算过程相
5、似小结1.定积分的定义2.定积分的几何意义3.牛顿-莱布尼兹公式4.变限函数计算
