2019年第一节 多元函数的基本概念ppt课件.ppt

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1、第一节多元函数的基本概念一、Rn空间的有关概念二、多元函数的概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性一、Rn空间的有关概念1、n维空间—Rn说明：1)n维空间中的线性运算即为x与y的线性运算.2)n维空间中两点间距离公式当n=1,2,3时，为数轴、平面、空间两点间的距离．设两点为3)xa记为xa.xa的充要条件是xiai(i=1,2,…,n).1)邻域点的去心邻域，记为2、R2的有关概念2)内点、边界点和聚点(1)内点一定是聚点；说明：(2)边界点可能是聚点；例(0,0)既是边界点也是聚点．(3)点集E的聚点可以属于E，也可以不属于

2、E．例如,(0,0)是聚点但不属于集合．例如,边界上的点都是聚点也都属于集合．3)开集与闭集例如：即为开集．例如：即为闭集．既非开集也非闭集．是有界点集；是无界点集．例如：4)有界集与无界集5)区域、闭区域连通的开集称为区域或开区域．例如，连通的开集称为区域或开区域．例如，例如，有界闭区域；无界开区域．例如：3、n维空间Rn中邻域、区域等概念内点、边界点、区域、聚点等概念也可类似定义．邻域：4、直线与线段二、多元函数的概念二元函数的定义二元函数由对应法则f和定义域D两要素确定。规定二元函数的自然定义域是使算式所表达的函数有意义的x,y所对应的

3、点P(x,y)的全体.类似地可定义三元及三元以上函数．多元函数中也有定义域、值域、自变量、因变量等概念.例1(1)求的定义域．(2)求的定义域．(3)求的定义域．例1(1)求的定义域．(2)求的定义域．(3)求的定义域．例2求的定义域．解所求定义域为例3求下列函数的定义域．解所求定义域为：例4设求解多元函数也有单值性与多值性的概念.例如：单值分支一元函数的单调性、奇偶性、周期性等性质的定义在多元函数中不再适用，但有界性的定义仍适用：设有n元函数y=f(x)，其定义域为DRn，集合XD.若垂存在正数M，使对xX，有

4、f(x)

5、M，则称

6、f(x)在X上有界，M称为f(x)在X上的一个界.二元函数的图形（如下页图）二元函数的图形通常是一张曲面.例如,图形如右图.例如,左图球面.单值分支:例5、已知求.例6、已知求.二元函数也有复合函数例7、三、多元函数的极限说明：(1)定义中的方式是任意的；(2)二元函数的极限也叫二重极限(3)二元函数的极限运算法则与一元函数类似．一元函数求极限的许多方法可搬到求二元函数的极限上来．如四则运算法则、无穷小替代、两个重要极限、夹逼定理等.例1求证例2求证例1求证证当时，原结论成立．例2求证证当时，原结论成立．例3设证明不存在．解取其值随k的不同而

7、变化，极限不存在．例4证明不存在．证取其值随k的不同而变化，故极限不存在．确定极限不存在的方法：从极限定义知，多元函数的极限与一元函数极限相同，所以可以把一元函数求极限的许多方法搬到多元函数的极限上来.例5、求例6、求例7求极限解其中利用点函数的形式有n元函数的极限四、多元函数的连续性如果函数在D上各点处都连续,则称此函数在D上连续.例8讨论函数在(0,0)的连续性．函数在(0,0)处不连续．点(0,0)为其间断点．又如,函数在圆周上间断.例8讨论函数在(0,0)的连续性．解取其值随k的不同而变化，极限不存在．故函数在(0,0)处不连续．点(

8、0,0)为间断点．多元基本初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．由多元函数极限的四则运算可得多元函数的四则运算连续性及复合函数的连续性.多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数.把这些函数看作多元函数，叫做多元基本初等函数.例9求解闭区域上连续函数的性质（1）有界性定理在有界闭区域D上的多元连续函数必定在D上必有界．在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．在有界闭区域D上的多元连续

9、函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．（2）最大值和最小值定理（3）介值定理多元函数极限的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的任意性）四、小结多元函数的定义思考题思考题解答不能.例取但是不存在.原因为若取练习题练习题答案不存在.观察观察不存在.观察不存在.观察不存在.观察不存在.观察不存在.观察不存在.观察不存在.观察不存在.观察不存在.观察不存在.观察不存在.