2019年微分方程的基本概念ppt课件.ppt

《2019年微分方程的基本概念ppt课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、微分方程的基本概念第一节微分方程的基本概念引例几何问题引例.一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的解:设所求曲线方程为y=y(x),则有如下关系式:①(C为任意常数)由②得C=1,因此所求曲线方程为②由①得切线斜率为2x,求该曲线的方程.常微分方程偏微分方程含未知函数及其导数的方程叫做微分方程.(本章内容)微分方程的基本概念分类例方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程(n阶显式微分方程)一般地,n阶常微分方程的形式是的阶.或—使方程成为恒等式的函数.通解—解中所含独立的任意常数的个数与方程—确定通解中任意常数的条件.的阶数相同.特解引例1通解:特解:微分方程的解—不含任意

2、常数的解,定解条件其图形称为积分曲线.n阶方程的初始条件(或初值条件):过定点的积分曲线;一阶:二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.例1.验证函数是微分方程的通解,的特解.解:这说明是方程的解.是两个独立的任意常数,利用初始条件易得:故所求特解为故它是方程的通解.并求满足初始条件求所满足的微分方程.例2.已知曲线上点P(x,y)处的法线与x轴交点为Q解:如图所示,令Y=0,得Q点的横坐标即点P(x,y)处的法线方程为且线段PQ被y轴平分,练习1、试说出下列各微分方程的阶数2、指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解是是是不是

3、思考题思考题解答中不含任意常数,故为微分方程的特解.一阶微分方程第二节本节讨论形如的一阶微分方程一、可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.解法为微分方程的解.分离变量法解分离变量两端积分解可分离变量为两端积分通解,非全部解通解,全部解例1求解微分方程例2.求微分方程的通解.解:分离变量得两边积分得即(C为任意常数)或说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.(此式含分离变量时丢失的解y=0)例3.解初值问题解:分离变量得两边积分得即由初始条件得C=1,(C为任意常数)故所求特解为练习求下列微分方程的通解练习:解法1分离变量即(C<0)解法2故有积分(C为任意常数

4、)所求通解:积分二、齐次方程形如的方程叫做齐次方程.令代入原方程得两边积分,得积分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分离变量:例1.解微分方程解:代入原方程得分离变量两边积分得故原方程的通解为(当C=0时,y=0也是方程的解)(C为任意常数)此处例2.解微分方程解:则有分离变量积分得代回原变量得通解即说明:显然x=0,y=0,y=x也是原方程的解,但在(C为任意常数)求解过程中丢失了.三、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:若Q(x)0,若Q(x)0,称为非齐次方程.称为齐次方程;例如线性的;非线性的.1.解齐次方程分离变量两边积分得故通解为一阶线性微分方程标准形式:一

5、阶线性微分方程的解法一阶齐次线性微分方程的通解（公式）对应齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解2.解非齐次方程用常数变易法:则故原方程的通解即即作变换两端积分得例1.解方程解:先解即积分得即用常数变易法求特解.则代入非齐次方程得解得故原方程通解为令解例2例3.求方程的通解.解:注意x,y同号,由一阶线性方程通解公式,得故方程可变形为所求通解为这是以为因变量y为自变量的一阶线性方程内容小结1.一阶线性方程方法1先解齐次方程,再用常数变易法.方法2用通解公式化为线性方程求解.2.伯努利方程3.注意用变量代换将方程化为已知类型的方程例如,解方程法1.取y作自变量:线性方程法2.作变换则代

6、入原方程得可分离变量方程思考与练习判别下列方程类型:提示:可分离变量方程齐次方程线性方程线性方程伯努利方程备用题1.求一连续可导函数使其满足下列方程:提示:令则有线性方程利用公式可求出2.设有微分方程其中试求此方程满足初始条件的连续解.解:1)先解定解问题利用通解公式,得利用得故有2)再解定解问题此齐次线性方程的通解为利用衔接条件得因此有3)原问题的解为(雅各布第一·伯努利)书中给出的伯努利数在很多地方有用,伯努利(1654–1705)瑞士数学家,位数学家.标和极坐标下的曲率半径公式,1695年版了他的巨著《猜度术》,上的一件大事,而伯努利定理则是大数定律的最早形式.年提出了著名的伯

7、努利方程,他家祖孙三代出过十多1694年他首次给出了直角坐1713年出这是组合数学与概率论史此外,他对双纽线,悬链线和对数螺线都有深入的研究.内容小结1.微分方程的概念微分方程;定解条件;2.可分离变量方程的求解方法:说明:通解不一定是方程的全部解.有解后者是通解,但不包含前一个解.例如,方程分离变量后积分;根据定解条件定常数.解;阶;通解;特解y=–x及y=C找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.常用的方法:1)根据几何关系列方程(如:P298题5