资源描述：
《第8讲-因动点产生的线段和差问题.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第8讲因动点产生的线段和差问题例1福州市中考第26题如图1，抛物线y＝x2－4x与x轴交于O、A两点，P为抛物线上一点，过点P的直线y＝x＋m与抛物线的对称轴交于点Q．（1）这条抛物线的对称轴是_________，直线PQ与x轴所夹锐角的度数是______；（2）若两个三角形的面积满足S△OQP＝S△PAQ，求m的值；（3）当点P在x轴下方的抛物线上时，过点C(2,2)的直线AC与直线PQ交于点D，求：①PD＋DQ的最大值；②PD·DQ的最大值．图思路点拨1．第（2）题△OQP与△PAQ是同底三角形，把面积比转化为对应高的比，进而确定线段OA的分点的位置，从而得到直线PQ
2、与y轴的交点坐标．2．第（3）题中，△CQD保持等腰直角三角形的形状．满分解答（1）抛物线的对称轴为直线x＝2，直线PQ与x轴的夹角为45°．（2）因为△OQP与△PAQ有公共边PQ，所以它们的面积比等于对应高的比．如图2，作OM⊥PQ于M，AN⊥PQ于N．当S△OQP＝S△PAQ时，．设直线PQ与x轴交于点H，那么．由y＝x2－4x＝x(x－4)，得A(4,0)．所以OA＝4．①如图2，当点H在线段OA上时，OH＝1，H(1,0)．此时m＝－1．②如图3，当点H在AO的延长线上时，OH＝2，H(－2,0)．此时m＝2．（3）①如图4，由A(4,0)、C(2,2)，得直线
3、AC与x轴的夹角为45°，点C在抛物线的对称轴上．又因为直线PQ与x轴的夹角为45°，所以△CDQ是等腰直角三角形．作点Q关于直线AC的对称点Q′，那么△CQQ′是等腰直角三角形，CQ′//x轴．所以DQ＝DQ′．因此PD＋DQ＝PD＋DQ′＝PQ′．作PP′⊥CQ′，垂足为P′，那么△PP′Q′是等腰直角三角形．因此当PP′最大时，PQ′也最大．当点P运动到抛物线的顶点(2,－4)时，PP′最大，最大值PP′＝6．此时PQ′的最大值为，即PD＋DQ的最大值为．图2图3图4②由于PD＋DQ≤，设PD＝a，那么DQ≤．因此PD·QD≤．所以当a＝时，PD·QD的最大值为18
4、．此时PD＝DQ＝，P、Q两点重合于抛物线的顶点．考点伸展第（3）①题可以用代数法来解：因为点P在抛物线y＝x2－4x上，设P(n,n2－4n)．将P(n,n2－4n)代入直线y＝x＋m，可得m＝n2－5n．所以直线PQ可以表示为y＝x＋n2－5n，那么Q(2,2＋n2－5n)．联立直线AC：y＝－x＋4和直线PQ：y＝x＋n2－5n，可得2xD＝4－n2＋5n．于是PD＋DQ＝＝＝．所以当n＝2时，PD＋DQ的最大值为．当n＝2时点P在抛物线的顶点．例2广州市中考第24题已知平面直角坐标系中两定点A(－1,0)、B(4,0)，抛物线y＝ax2＋bx－2（a≠0）过点A、
5、B，顶点为C，点P(m,n)（n＜0）为抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；（2）当∠APB为钝角时，求m的取值范围；（3）若m＞，当∠APB为直角时，将该抛物线向左或向右平移t（0＜t＜）个单位，点C、P平移后对应的点分别记为C′、P′，是否存在t，使得顺次首尾连接A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短？若存在，求t的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．思路点拨1．要探求∠APB为钝角时点P的范围，需要先找到∠APB为直角时点P的位置．2．直径的两个端点与圆内一点围成的三角形是钝角三角形．3．求两条线段的和最小，是典型的“牛喝水”问题．本
6、题的四条线段中，有两条的长是定值，把不定的两条线段通过“平行且相等”连接起来，就转化为“牛喝水”问题．满分解答（1）因为抛物线y＝ax2＋bx－2与x轴交于A(－1,0)、B(4,0)两点，所以y＝a(x＋1)(x－4)＝ax2－3ax－4a．所以－4a＝－2，b＝－3a．所以，．所以。顶点为．（2）如图1，设抛物线与y轴的交点为D．由A(－1,0)、B(4,0)、D(0,－2)，可知．所以△AOD∽△DOB．因此∠ADO＝∠DBO．由于∠DBO与∠BDO互余，所以∠ADO与∠BDO也互余．图1于是可得∠ADB＝90°．因此以AB为直径的圆经过点D．当点P在x轴下方圆的内
7、部时，∠APB为钝角，此时－1＜m＜0，或3＜m＜4．（3）若m＞，当∠APB为直角时，点P与点D关于抛物线的对称轴对称，因此点P的坐标为(3,－2)．如图2，由于点A、B、P、C是确定的，BB′、P′C′、PC平行且相等，所以A、B、P′、C′四点所构成的四边形中，AB和P′C′的长是确定的．如图3，以P′C′、P′B为邻边构造平行四边形C′P′BB′，以直线为对称轴作点B′的对称点B′′，联结AB′′，那么AC′＋P′B的长最小值就是线段AB′′。如图4，线段AB′′与直线的交点，就是四边形周长最小时点C′的位置．如图2，
