隐函数组ppt课件.ppt

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1、§18.2隐函数组18.2.1隐函数组18.2.2隐函数组定理18.2.3反函数组和坐标变换18.2.1隐函数组一般地，有：18.2.2隐函数组定理假设方程组(1)中F和G可微，对两式两边求微分得到下列方程组：我们将其中的du,dv看成变元，而F及G关于u,v的偏导数看成是系数，则(E1)可视为二元线性方程组，设其系数行列式不为零，即(E1)移项有Jacobi行列式利用Grammer法则可求出du及dv:注意到微分与其偏导数的关系从而可得定理18.4(隐函数组定理)设方程组(1)中的函数F与G满足下列条件：(i)在以点为内点的某区域上连续；(

2、ii)(初始条件);(iii)在V内存在连续的一阶偏导数；(iv)即有则有如下结论成立：且满足必定存在邻域其中使得在上连续.在上存在一阶连续偏导数,且有本定理的详细证明从略(第二十三章有一般隐函数定理及其证明),下面给出一些说明:说明：(1)定理的证明，利用隐函数定理来证。解得：同理：√√√解1直接代入公式；解2运用公式推导的方法，将所给方程的两边对求导并移项将所给方程的两边对求导，用同样方法得例3设函数具有连续的偏导数,是由方程组所确定的隐函数组.试求解设则有由此计算所需之雅可比行列式:于是求得注计算隐函数组的偏导数(或导数)比较繁琐,要学

3、懂前两例所演示的方法(利用雅可比矩阵和雅可比行列式),掌握其中的规律.这里特别需要“精心＋细心＋耐心”.三、反函数组与坐标变换设有一函数组它确定了一个映射(或变换):写成点函数形式,即为并记的象集为现在的问题是:函数组(6)满足何种条件时,存在逆变换即存在亦即存在一个函数组使得满足这样的函数组(7)称为函数组(6)的反函数组.它的存在性问题可化为隐函数组的相应问题来处理.为此,首先把方程组(6)改写为然后将定理18.4应用于(8),即得下述定理.定理18.5(反函数组定理)设(6)中函数在某区域上具有连续的一阶偏导数,是的内点,且则在点的某邻

4、域内,存在惟一此外,反函数组(7)在内存在连续的一阶的一组反函数(7),使得偏导数;若记则有同理又有由(9)式进一步看到:此式表示:互为反函数组的(6)与(7),它们的雅可比行列式互为倒数,这和以前熟知的反函数求导公式相类似.于是可把一元函数的导数和函数组(6)的雅可比行列式看作对应物.例3平面上点的直角坐标与极坐标之间的坐标变换为试讨论它的逆变换.解由于因此除原点(r=0)外,在其余一切点处,T存在逆变换例4空间直角坐标与球坐标之间的坐标变换为(见图18－5)图18－5由于因此在(即除去Oz轴上的一切点)时,存在逆变换例5设有一微分方程(弦

5、振动方程):其中具有二阶连续偏导数.试问此方程在坐标变换之下,将变成何种形式?解据题意,是要把方程(10)变换成以u,v作为自变量的形式.现在按此目标计算如下:首先有故T的逆变换存在,而且又有依据一阶微分形式不变性,得到并由此推知继续求以u,v为自变量的与的表达式:最后得到以u,v为自变量的微分方程为