稳定性和误差ppt课件.ppt

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1、13.5　线性系统的稳定性分析3.5.1　稳定的概念和线性系统稳定的充要条件控制系统在实际运行中，总会受到外界和内部一些因素的扰动，例如负载和能源的波动、系统参数的变化、环境条件改变等。任何系统在扰动作用下都会偏离原平衡状态，产生初始偏差。所谓稳定性，是指系统在扰动消失后，由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能。在经典控制理论中，认为若系统能恢复到原平衡状态，则称系统是稳定的；否则，称系统是不稳定的。3obacd4线性控制系统稳定性的定义如下：若线性控制系统在初始扰动的影响下，其过渡过程随着时间的推移逐渐衰减并趋向于零（原平衡状态），则称系统为稳定。反之，则为不稳定

2、。零输入下线性齐次微分方程在初始条件下的自由运动，工程上常用脉冲响应来等效研究。如果当t→∞时，脉冲响应函数g(t)收敛到原来的平衡点，即有则线性系统是稳定的。5线性系统稳定的充要条件是：闭环系统特征方程的所有根都具有负实部，或者说，闭环传递函数的极点均位于s左半平面（不包括虚轴）。不失一般性，设n阶系统的闭环传递函数为：线性系统的稳定性是系统自身固有特性，仅取决于结构参数，与初始条件和输入信号无关。6根据稳定的充要条件决定系统的稳定性，必须知道系统特征根的全部符号。如果能解出全部根，则立即可判断系统的稳定性。然而对于高阶系统，求根的工作量很大，常常希望使用一种直

3、接判断根是否全在s左半平面的代替方法，下面就介绍劳斯代数稳定判据。3.5.2　线性系统的代数稳定判据首先给出系统稳定的必要条件：设线性系统的闭环特征方程式中，a0>0,si（i=1,2,,n）是系统的n个闭环极点。7根据代数方程的基本理论，下列关系式成立：从上式可以导出，系统特征根都具有负实部的必要条件为：aiaj>0(i,j=1,2,,n)即闭环特征方程各项同号且不缺项。如果特征方程不满足上式的条件，系统必然非稳定。但满足上式，还不能确定一定是稳定的，因为上式仅是必要条件。81.劳斯判据LLLLsnsn-1sn-2sn-3s0a0a1a2a3a4a5an劳斯

4、判据采用表格形式，即劳斯表：9表中：（1）最左一列元素按s的幂次排列，由高到低，只起标识作用，不参与计算。（2）第一，二行元素，直接用特征方程的系数填入。（3）从第三行起各元素，是根据前二行的元素计算得到。凡在运算中出现的空位，均置以零。运算一直进行到第n+1行，第n+1行仅第一列有值，且正好为特征方程最后一项系数an。系统稳定的充要条件是：劳斯表中第一列全部元素都要是正的。劳斯表中第一列元素符号改变的次数，等于相应特征方程位于右半s平面上根的个数。10第一列元素符号改变了2次，∴系统不稳定，且有两个根具有正实部。2.劳斯判据的应用（1）判断系统的稳定性例3-5设

5、有特征方程D(s)=s4+2s3+3s2+4s+5=0试用劳斯判据判别该特征方程的正实部根的数目。解：劳斯表s4s3s2s1s013524615511例3-6系统的特征方程为：D(s)=s33s+2=0试用劳斯判据判断系统的稳定性。解：系统的劳斯表为：第一种特殊情况：劳斯表中某行的第一列元素为零，而其余各项不全为零，或没有其余项。对此情况，可作如下处理：s3s2s1s01302∞①用一个很小的正数ε来代替第一列为零的项，从而使劳斯表继续下去。②可用因子（s+a）乘以原特征方程，其中a可为任意正数，再对新的特征方程应用劳斯判据。12∵ε→0+时，b1<0，劳斯

6、表中第一列元素符号改变了两次∴系统有两个具有正实部的根，不稳定。（s+3）乘以原特征方程，得新的特征方程为：D1(s)=D(s)(s+3)=s4+3s33s27s+6=0s3s2s1s0130(ε)22s4s3s2s1s0136372/3620613例3-7设某线性系统的闭环特征方程为：D(s)=s4+s33s2s+2=0试用劳斯判据判断系统稳定性。第二种特殊情况：劳斯表中某行元素全为零。此时，特征方程中存在关于原点对称的根（实根，共轭虚根或共轭复数根）。对此情况，可作如下处理：s4s3s2s1s0132112200解:　该系统的劳斯表如下：

7、14由于劳斯表中第一列元素的符号改变了两次，故系统有两个正实部的根，系统不稳定。关于原点对称的根，可解辅助方程求出。得s1=1和s2=1。对本例题，可用长除法求出另二个根，分别为s3=1和s4=2。用全零行上一行的系数构成一个辅助方程，对辅助方程求导，用所得方程的系数代替全零行，继续劳斯表。s4s3s2s1s0132112242F(s)=2s2+2F(s)=4s15例3-20已知系统的闭环特征方程为：D(s)=s6+2s5+8s4+12s3+20s2+16s+16=0试用劳斯判据判断系统稳定性。辅助方程：2s4+12s2+16=0对s求导，得

8、8s3+2