状态转移矩阵计算ppt课件.ppt

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1、Ch.3线性系统的时域分析目录(1/1)目录概述3.1线性定常连续系统状态方程的解3.2状态转移矩阵及其计算3.3线性时变连续系统状态方程的解3.4线性定常连续系统的离散化3.5线性定常离散系统状态方程的解3.6Matlab问题本章小结状态转移矩阵计算(1/1)3.2状态转移矩阵计算在状态方程求解中,关键是状态转移矩阵(t)的计算。对于线性定常连续系统,该问题又归结为矩阵指数函数eAt的计算。上一节已经介绍了基于拉氏反变换技术的矩阵指数函数eAt的计算方法,下面讲述计算矩阵指数函数的下述其他3种常用方法。级数求和法约旦规范形法化eAt为A的有限多项式矩阵函数法重点推荐级数求和法(

2、1/3)3.2.1级数求和法由上一节对矩阵指数函数的定义过程中可知:矩阵指数函数eAt的计算可由上述定义式直接计算。由于上述定义式是一个无穷级数,故在用此方法计算eAt时必须考虑级数收敛性条件和计算收敛速度问题。类似于标量指数函数eat,对所有有限的常数矩阵A和有限的时间t来说,矩阵指数函数eAt这个无穷级数表示收敛。级数求和法(2/3)显然,用此方法计算eAt一般不能写成封闭的、简洁的解析形式,只能得到数值计算的近似计算结果。其计算精度取决于矩阵级数的收敛性与计算时所取的项数的多少。如果级数收敛较慢,则需计算的级数项数多,人工计算是非常麻烦的,一般只适用于计算机计算。因此,该方法

3、的缺点:计算量大精度低非解析方法,难以得到计算结果的简洁的解析表达式。级数求和法(3/3)—例3-4例3-4用直接计算法求下述矩阵的矩阵指数函数:解按矩阵指数函数的展开式计算如下:约旦规范形法(1/8)3.2.2约旦规范形法上节给出了对角线矩阵、块对角矩阵和约旦块三种特殊形式矩阵的矩阵指数函数。由于任何矩阵都可经线性变换成为对角线矩阵或约旦矩阵,因此可通过线性变换将一般形式的矩阵变换成对角线矩阵或约旦矩阵,再利用上述特殊形式矩阵的矩阵指数函数来快速计算矩阵矩阵指数函数。下面讨论之。约旦规范形法(2/8)下面首先讨论矩阵指数函数的一条性质:对矩阵A,经变换矩阵P作线性变换后,有则相应

4、地有如下矩阵指数函数的变换关系约旦规范形法(3/8)根据上述性质,对矩阵A,可通过线性变换方法得到对角线矩阵或约旦矩阵,然后利用该类特殊矩阵的矩阵指数函数,由矩阵指数函数的变换关系来求原矩阵A的矩阵指数函数。该结论可简单证明如下:约旦规范形法(4/8)—例3-5例3-5试求如下系统矩阵的矩阵指数函数解1.先求A的特征值。由特征方程可求得特征值为1=-12=-23=-32.求特征值所对应的特征向量。由前述的方法可求得特征值1,2和3所对应的特征向量分别为p1=[101]p2=[124]p3=[169]约旦规范形法—例3-5故将A变换成对角线矩阵的变换矩阵P及其逆阵P

5、-1为3.由系统矩阵和矩阵指数函数的变换关系,分别有约旦规范形法—例3-6例3-6试求如下系统矩阵的矩阵指数函数约旦规范形法(7/8)—例3-6解1.先求A的特征值。由特征方程可求得特征值为1=22=3=-12.由于矩阵A为友矩阵,故将A变换成约旦矩阵的变换矩阵P和其逆阵P-1分别为3.由系统矩阵和矩阵指数函数的变换关系,分别有约旦规范形法(8/8)--例3-6塞尔维斯特内插法(1/1)3.2.3塞尔维斯特内插法在讨论塞尔维斯特(Sylvester)内插法计算矩阵指数函数eAt时,需要用到关于矩阵特征多项式的凯莱-哈密顿(Cayley-Hamilton)定理以及最小多项式的概

6、念。因此,首先给出凯莱-哈密顿定理及最小多项式的概念,再讨论塞尔维斯特内插法。下面依次介绍:凯莱-哈密顿定理最小多项式塞尔维斯特内插法计算矩阵指数函数凯莱-哈密顿定理(1/4)1.凯莱-哈密顿定理凯莱-哈密顿定理是矩阵方程分析和求解中非常重要的定理,其表述和证明如下。定理3-1(凯莱-哈密顿定理)设nn矩阵A的特征多项式为f()=

7、I-A

8、=n+a1n-1+…+an-1+an则矩阵A必使由上述特征多项式决定的矩阵多项式函数f(A)=An+a1An-1+…+an-1A+anI=0上述特征多项式亦称为矩阵A的零化特征多项式。□凯莱-哈密顿定理(2/4)证明因为I=(I-A

9、)-1(I-A)=[adj(I-A)/

10、I-A

11、](I-A)故

12、I-A

13、I=adj(I-A)(I-A)由伴随矩阵的定义可知,伴随矩阵adj(I-A)可表示为如下多项式矩阵函数:adj(I-A)=n-1I+n-2B2+…+Bn-1+Bn其中矩阵B2,B3,…,Bn为nn维的常数矩阵。凯莱-哈密顿定理(3/4)因此由前面两式,有(n+a1n-1+…+an-1+an)I=(n-1I+n-2B2+…+Bn-1+Bn)(I-A)整理得(