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1、数字图像处理DigitalImageProcessing1第三章图像变换3.1预备知识3.2数字图像的傅立叶变换3.3其它可分离图像变换23.1预备知识常见的图像变换：傅立叶变换，DCT变换，沃尔什-哈达玛变换，哈尔变换，小波变换。先看看傅立叶变换3JeanBaptisteJosephFourier(1768-1830)hadcrazyidea(1807):Anyperiodicfunctioncanberewrittenasaweightedsumofsinesandcosinesofdifferentfrequencies.Don’
2、tbelieveit?NeitherdidLagrange,Laplace,PoissonandotherbigwigsNottranslatedintoEnglishuntil1878!Butit’strue!calledFourierSeries4Fouriertransform basisfunctions用几个sin函数来近似方波5TimeandFrequencyexample:g(t)=sin(2πft)+(1/3)sin(2π(3f)t)6TimeandFrequencyexample:g(t)=sin(2πft)+(1/3
3、)sin(2π(3f)t)=+7FrequencySpectraexample:g(t)=sin(2πft)+(1/3)sin(2π(3f)t)=+8FrequencySpectra9Fourier变换f(t)F(u)FourierTransformF(u)f(t)InverseFourierTransform反变换：10例：为下图所示的简单函数f(x)，求其傅立叶变换F(u)。一维连续傅立叶变换(一维Sinc函数)11XA一维连续傅立叶变换12二维连续傅立叶变换13例：为下图所示的二维函数f(x,y)，求其傅立叶变换F(u,v)。二维
4、连续傅立叶变换14二维连续傅立叶变换153.2数字图像的傅立叶变换问题是：数字图像是离散的；空间上和幅度上；数字图像是二维的；数字图像大小是有限的。因此需要：离散的、二维的傅立叶变换傅立叶变换如何应用到数字图像处理上？16一维离散傅立叶变换17课堂练习f(0)=1f(1)=1f(2)=1f(3)=1求一维离散傅立叶变换？F(0)=1F(1)=1F(2)=1F(3)=1求一维逆离散傅立叶变换？18例：一维离散函数如下,求其离散傅立叶变换.一维离散傅立叶变换19一维离散傅立叶变换矩阵表示法20N=8时W各元素一维离散傅立叶变换212-DDi
5、screteFourierTransform在2维情况下,DFT变换对:u=0,1,2,…,M-1andv=0,1,2,…,N-1x=0,1,2,…,M-1andy=0,1,2,…,N-1and:22f(x,y)求F(u,v)1111111111111111课堂练习23PolarCoordinateRepresentationofFT实函数的傅立叶变换通常是复数形式，通常我们可以用极坐标形式表示：幅值Magnitude:相位Phase:Polarcoordinate241)可分性一个二维离散傅立叶变换可以用二次一维的离散傅立叶变换来实现
6、。傅立叶变换的性质行变换列变换252)线性263)比例变换特性4)平移特性27位移定理285)共轭对称性说明离散函数的傅立叶变换是以原点为中心对称的，只要求出半个周期内的值就可以得到真个周期的值。296)旋转特性307)平均值8)能量保持定理9)微分特性离散函数的拉普拉斯算子为：那么3110)卷积定理为了防止交叠误差（WraparoundError），将扩展为，其二维离散卷积定义为：则二维离散傅立叶卷积如下：32看一些图像傅立叶变换实例,增加其物理意义的感性认识。33傅立叶（Fourier）变换及其意义二维傅立叶变换物理意义水平方向50
7、Hz正弦信号34傅立叶（Fourier）变换及其意义二维傅立叶变换物理意义水平方向200Hz正弦信号35傅立叶（Fourier）变换及其意义二维傅立叶变换物理意义水平方向500Hz正弦信号细节越多，频率越高36对角方向50Hz正弦信号3738傅立叶（Fourier）变换及其意义39FTIFT40IFTIFT41低频区域对应图像的整体概略高频区域对应图像的细节42uvImageDetailGeneralappearanceFrequencyDomain(logmagnitude)4310%5%20%50%44Fourier变换的低通滤波示
8、例45Fourier变换的高通滤波示例46课堂练习f(0)=1f(1)=1f(2)=1f(3)=1求一维离散傅立叶变换？F(0)=1F(1)=1F(2)=1F(3)=1求一维逆离散傅立叶变换？如果是4×4全
