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《弹性力学第6章61至66用有限单元法求平面问题ppt课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、上堂课第五章主要内容差分公式及应力函数的差分解应力函数差分解的实例最小势能原理位移变分方程及位移变分法第六章有限单元法解平面问题（一）本堂课6-5单元的结点力列阵与劲度矩阵6-4单元的应变列阵和应力列阵6-3单元的位移模式与解答的收敛性6-2有限单元法的概念6-1基本量及基本方程的矩阵表示6-6荷载向结点移置单元的结点荷载列阵有限元法FEM的特点(1)具有通用性和灵活性。首先将连续体变换为离散化结构，然后再利用分片插值技术与虚功原理或变分方法进行求解。是弹性力学的一种近似解法。(2)对同一类问题,可以编制出通用程序,应用计算机进行计算。(3)只要适当加
2、密网格，就可以达到工程要求的精度。基本原理关于有限单元法本章无特别指明,均表示为平面应力问题的公式。采用矩阵表示,可使公式统一、简洁,且便于编制程序。1、基本物理量的矩阵表示体力:位移函数:应变:应力:结点位移列阵:结点力列阵:面力:6-1基本量及基本方程的矩阵表示(2)物理方程:2、FEM中应用的方程(1)几何方程:应用的方程其中,D为弹性矩阵,对于平面应力问题是:(3)虚功方程:为结点虚位移及对应的虚应变。其中，3、整体分析。§6-2有限单元法的概念1、结构的离散化；2、单元分析；FEM的分析过程：有限单元法是将连续体变换成为离散化结构，然后再用结
3、构力学解法或变分解法进行求解。即，采用有限自由度的离散单元组合体模型去描述实际具有无限自由度的研究对象，是一种在力学模型上进行近似的数值计算方法。结构力学研究的对象是离散化结构。如桁架，各单元(杆件)之间除结点铰结外，没有其他联系(图(a))。弹力研究的对象，是连续体(图(b))。1.结构离散化将连续体变换为离散化结构(图(c))：即将连续体划分为有限多个、有限大小的单元，并使这些单元仅在一些结点处用绞连结起来，构成所谓“离散化结构”。图(c)与图(a)相比,两者都是离散化结构；区别是，桁架的单元是杆件，而图(c)的单元是三角形块体（注意:三角形单元内
4、部仍是连续体）。比如：将深梁划分为许多三角形单元，这些单元仅在角点用铰连接起来。2.单元分析每个三角形单元仍然假定为连续的、均匀的、各向同性的完全弹性体。因单元内部仍是连续体，应按弹性力学方法进行分析。单元分析的基本过程如下：（1）取各结点位移为基本未知量，然后对每个单元,分别求出各物理量,并均用来表示。(2)应用插值公式,由单元结点位移,求单元的位移函数该插值公式称为单元的位移模式,记为(5)应用虚功方程,由单元的应力,求出单元的结点力表示为(4)应用物理方程,由单元的应变,求出单元的应力其中，为结点对单元的作用力，作用于单元，称为结点力，以正标向为
5、正。(3)应用几何方程,由单元的位移函数d,求出单元的应变(6)将每一单元中的各种外荷载,按虚功等效原则移置到结点上,化为结点荷载应力转换矩阵单元刚度矩阵环绕节点i的那些单元移置而来的结点荷载3.整体分析周围单元对结点i的作用力（结点力）作用于结点i上的力有：其中,表示对围绕i结点的单元求和。列出各节点的平衡方程，组成整个结构的平衡方程组。结点i的平衡方程为：经过整理，上述平衡方程组可以表示为：整体节点荷载列阵整体节点位移列阵整体节点刚度列阵首先,必须解决由单元的结点位移来求出单元的位移函数§6-3单元的位移模式与解答的收敛性应用插值公式,可由求出位移
6、。该插值公式表示了单元中位移的分布形式,因此称为位移模式（或位移函数）。插值公式(a)在结点应等于结点位移值。由此可列出6个方程式，联立可求出在结点三角形单元中,可以假定位移分量只是坐标的线性函数,也就是假定：有限元解题的基本思路是先求节点处位移，再由插值求单元中任一点的位移，然后由几何方程求应变，最后由物理方程求应力。将式(a)按未知数归纳为:或用矩阵表示为:N称为形函数矩阵,其非零元素为其中，A为△ijm的面积(图示坐标系中,i,j,m按逆时针编号),有：三结点三角形单元的位移模式，略去了2次以上的项，因而其误差量级是且其中只包含了x,y的1次项，
7、所以在单元中Ni的分布如图(a)所示,u,v的分布如图(b)、(c)所示。FEM中以后的一系列工作，都是以位移模式为基础的。当单元趋于很小时，即时，为了使FEM之解逼近于真解（保证FEM收敛性）,位移模式应满足下列条件：因为当单元尺寸趋于0时，单元中的位移和应变都趋近于基本量－－刚体位移和常量位移。(1)位移模式必须能反映单元的刚体位移（与本单元的形变无关）。(2)位移模式必须能反映单元的常量应变（与坐标无关）。(3)位移模式必须尽可能反映位移的连续性（与本单元的形变无关）。相邻单元在受力以后既不互相脱离，也不互相侵入。充分条件必要条件可见刚体位移项在
8、式(a)中均已反映。而刚体位移形式为，将式(a)写成可见常量应变也已反映。在三角形单元内部，位
