一阶微分方程的解法ppt课件.ppt

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1、一阶微分方程的解法第二节第八章一、可分离变量微分方程二、齐次微风方程三、一阶线性微分方程四、伯努利方程*（了解）一、可分离变量微分方程定义：形如第八章或的方程称为可分离变量方程。特点：变量x及dx与变量y及dy能分离在方程两端。分离变量方程的解法:再两边积分,得②当G(y)与F(x)可微且G(y)g(y)0时,的隐函数y＝(x)是①的解.则有称②为方程①的隐式通解.同样,当F(x)=f(x)≠0时,由②确定的隐函数x＝(y)也是①的解.设左右两端的原函数分别为G(y),F(x),说明由②确定先分离变量：例1.求微分方程的通解.解

2、:分离变量得两边积分得即(C为任意常数)或说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.(此式在分离变量时丢失的解y=0)例2.解初值问题解:分离变量得两边积分得即由初始条件得C=1,(C为任意常数)故所求特解为例3.求下述微分方程的通解:解:令则故有即解得(C为任意常数)所求通解:二、齐次方程形如的方程叫做齐次方程.令代入原方程得两边积分,得积分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分离变量:定义：特点：右端能化为以为内函数的复合函数。例4.解微分方程解:代入原方程得分离变量两边积分得故原方程的通解为(当C=0时,y=0也是

3、方程的解)(C为任意常数)此处三、一阶线性微分方程定义：形如称为一阶线性微分方程。特点：变量及y都是“一次”的。上方程称为一阶线性齐次方程.上方程称为一阶线性非齐次方程.例如线性的;非线性的.齐次方程的通解为1.线性齐次方程(使用分离变量法)一阶线性微分方程的解法例5、若连续函数f(x)满足关系式讨论:设y=f(x)是解,则积分非齐方程通解形式2.线性非齐次方程常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.设解为积分得非齐方程通解一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次方程通解非齐次方程特解对应齐次方程通解与非齐次方程特解之和。解例

4、6、如图所示，平行于轴的动直线被曲线与截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积,求曲线.两边求导得解解此微分方程例7、所求曲线为*四、伯努利(Bernoulli)方程伯努利方程的标准形式:伯努利方程为线性微分方程.方程为非线性微分方程.解法:经过变量代换化为线性微分方程.令求出此方程通解后,除方程两边,得换回原变量即得伯努利方程的通解.解法:(线性方程)伯努利例8.求方程的通解.解:令则方程变形为其通解为将代入,得原方程通解:(雅各布第一·伯努利)书中给出的伯努利数在很多地方有用,伯努利(1654–1705)瑞士数学家,位数学家.标和极坐

5、标下的曲率半径公式,1695年版了他的巨著《猜度术》,上的一件大事,而伯努利定理则是大数定律的最早形式.年提出了著名的伯努利方程,他家祖孙三代出过十多1694年他首次给出了直角坐1713年出这是组合数学与概率论史此外,他对双纽线,悬链线和对数螺线都有深入的研究.