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1、第二章:解三角形1.1正弦定理.1.问题的引入:.(1)在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事.明月高悬,我们仰望夜空,会有无限遐想,不禁会问,月亮离我们地球有多远呢?科学家们是怎样测出来的呢？.(2)设A,B两点在河的两岸,只给你米尺和量角设备,不过河你可以测出它们之间的距离吗?AB我们这一节所学习的内容就是解决这些问题的有力工具..回忆一下直角三角形的边角关系?ABCcba两等式间有联系吗？思考:对一般的三角形,这个结论还能成立吗?2.定理的推导1.1正弦定理.(1)当是锐角三角形时,结论是否还成立呢?D如图:作AB上的高是CD,根
2、椐三角形的定义,得到1.1正弦定理BACabcE.(2)当是钝角三角形时,以上等式是否仍然成立?BACbca1.1.1正弦定理D.（1）文字叙述正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.（2）结构特点（3）方程的观点正弦定理实际上是已知其中三个,求另一个.能否运用向量的方法来证明正弦定理呢?和谐美、对称美.正弦定理:.O(A)yxCBC′因为向量与在y轴上的射影均为，如图所示，以A为原点，以射线AB的方向为x轴正方向建立直角坐标系，C点在y轴上的射影为C′，即所以即.所以若A为锐角或直角，也可以得到同样的结论.同理，
3、.变式:正弦定理在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即.剖析定理、加深理解1、A+B+C=π2、大角对大边，大边对大角.剖析定理、加深理解3、正弦定理可以解决三角形中的问题：①已知两角和一边，求其他角和边②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角.剖析定理、加深理解4、一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫解三角形.剖析定理、加深理解5、正弦定理的变形形式6、正弦定理，可以用来判断三角形的形状，其主要功能是实现三角形边角关系的
4、转化.例1在已知,解三角形.通过例题你发现了什么一般性结论吗?小结：知道三角形的两个内角和任何一边，利用正弦定理可以求出三角形中的其它元素。1.1正弦定理3.定理的应用举例变式：若将a=2改为c=2，结果如何？.例2已知a=16，b=，A=30°.解三角形。已知两边和其中一边的对角,求其他边和角解：由正弦定理得所以Ｂ＝60°,或Ｂ＝120°当时Ｂ＝60°C=90°C=30°当Ｂ＝120°时B16300ABC1631683..4.基础练习题1.1正弦定理B=300无解.BCDEA分析：如图所示，将BD,CE分别延长相交于一点A，在△
5、ABC中，已知BC的长及角B与C，可以通过正弦定理求AB，AC的长.例3.某地出土一块类似三角形刀状的古代玉佩(如图所示)，其一角已破损.现测得如下数据：BC=2.57cm，CE=3.57cm，BD=4.38cm,.为了复原,请计算原玉佩两边的长（结果精确到0.01cm）..解：将BD,CE分别延长相交于一点A，在△ABC中，BC=2.57cm,B=45°,C=120°,A=180°-(B+C)=180°-(45°+120°)=15°.因为,所以利用计算器算得AC≈7.02(cm),同理,AB≈8.60(cm).答：原玉佩两边的长
6、分别约为7.02cm,8.60cm..例4.台风中心位于某市正东方向300km处，正以40km/h的速度向西北方向移动，距离台风中心250km范围内将会受其影响.如果台风风速不变，那么该市从何时起要遭受台风影响？这种影响持续多长时间（结果精确到0.1h）?.分析：如图所示，台风沿着BD运动时，由于
7、AB
8、=300km>250km，所以开始台风影响不了城市A，由点A到台风移动路径BD最小距离
9、AE
10、=
11、AB
12、·sin45°所以台风在运动过程中肯定要影响城市A.这就要在BD上求影响A的始点C1和终点C2，然后根据台风的速度计算台风从C
13、1到C2持续的时间.A北DC2EC1B.解：设台风中心从点B向西北方向沿射线BD移动，该市位于点B正西方向300km处的点A.假设经过th，台风中心到达点C，则在△ABC中,AB=300km，AC=250km,BC=40tkm,B=45°....正弦定理主要应用(1)已知两角及任意一边，可以求出其他两边和另一角；(2)已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角。(此时可能有一解、二解、无解）1.1正弦定理小结:.作业.正弦定理（第二课时）1、复习回顾正弦定理的内容.问题1由例2我们发现，已知两边和其中一边的对角，解三角
14、形时会出现两解的情况.还会出现其他情况吗？你能从代数或几何角度给出解释吗？提示：已知两边及其中一边的对角，用正弦定理，可能有两解、一解或无解.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：探究点2正弦定理解三角形.1.Ａ为锐角a
