第二章线性映射与线性变换ppt课件.ppt

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1、教学目的掌握线性映射、线性变换的定义熟练掌握特征值、特征向量的定义和性质；掌握矩阵可对角化的条件理解酉空间的概念；熟悉酉空间与实内积空间的异同。第二章线性映射与线性变换(LinearmappingandLinearTransformation)线性变换是线性空间的核心内容，反映的是线性空间中元素间的一种基本联系，体现出一种“动态的”或者“直观的”视角。借助基的概念，可在线性变换与矩阵之间建立一一对应关系，因此通俗地讲“变换即矩阵”。这同时也意味著线性变换的运算可以转化为矩阵的运算。2维空间的线性变换3维空间的线性变换§2.1线性映射及其

2、矩阵表示定义1设V1，V2是数域P的两个线性空间，A是V1到V2的一个映射，如果对V1中任意两个向量,和任意数kP，都有A(+)=A()+A()A(k)=kA()则称A是V1到V2的线性映射或线性算子。若V1=V2=V，则称A是V上的线性变换。线性映射与变换的举例由数k决定的数乘变换：事实上，单位变换(恒等变换)：零变换：I:VV:I()=,VO:VV:O()=0,VK:VV:K()=k,V线性映射与变换的举例线性空间P[x]n的微分运算是线性变换.I(f(x))=f’(x)，f(x)

3、P[x]n线性空间C[a，b]的积分运算是线性变换.作为数学分析的两大运算：微分和积分，从变换的角度讲都是线性变换当然，非线性映射也是大量存在的，I(A)=detA，APnn不是线性映射。定理1设A是线性空间V1到V2的线性映射，则(1)A(0)=0,(2)A(-)=-A()(3)若1,2…m是V1的一组向量，k1,k2,…kmP,有A(k11+k22…+kmm)=k1A(1)+k2A(2)+…+kmA(m)(4)若1,2…m是V1的一组线性相关向量，则A(1),A(2),…,A(m)在V2中线

4、性相关，当且仅当A是一一映射时，V1中线性无关向量组的像在V2中也线性无关。线性映射的性质定理2设A,B是线性空间V1到V2的两个线性映射，若1，2，…n是V1的一组基，并且A(i)=B(i)(i=1,2…n),则A=B.注：定理2说明线性映射由基像组唯一确定2.线性映射的运算(1)设A,B都是V1到V2的线性映射,A,B的和A+B为:(A+B)()=A()+B()，任意的V1。(2)设A是V1到V2的线性映射,B是V2到V3的线性映射定义A,B的乘法BA为:(BA)()=B(A())，任意的V1.(3)设A

5、是V1到V2的线性映射,kP，定义k与A的数量乘积kA为:(kA)()=kA()，任意的V1线性映射的加法适合交换律和结合律，线性运算的乘法适合结合律。对线性映射定义了加法和数乘运算后可知，V1到V2的所有线性映射组成的集合构成数域P上的线性空间，记为L(V1,V2)。3.线性映射的矩阵表示是的基,是的基.设　　　　是线性映射，记:则存在唯一的使得:称矩阵A为线性映射T在基与基下的矩阵矩阵和线性映射互相唯一确定；在给定基的情况下，线性空间V1到V2的线性映射L与mn矩阵一一对应，且这种对应保持加法和数乘两种运算。L(V1,V

6、2)与Pmn同构。注：定理7设T为V1到V2的线性映射，则:称为线性映射在基与基下的坐标变换公式例1设V1=R[x]n，V2=R[x]n-1，取线性映射T：V1→V2T(f(x))=f’(x),f(x)R[x]n，求T在R[x]n的一组基1,x,…xn-1与R[x]n-1的基1,x,…xn-2下的矩阵DD(1)=0=01+02+…+0n-1D(2)=1=1+02+…+0n-1D(3)=2x=01+22+…+0n-1……D(n)=(n-1)xn-2=01+22+…+(n-1)n-1解在R[x]n中取基

7、1=1，2=x,…n=xn-1,在R[x]n-1中取基1=1，2=x,…n-1=xn-2，则D(1,2,…n)=(1,2…n-1)即于是D在基1，x,…xn-1与1，x,…xn-2下的矩阵为D=另：若在R[x]n-1中取基1=1，2=2x,…n-1=(n-1)xn-2则D在基1，x,…xn-1与1，2x,…(n-1)xn-2下的矩阵为D=说明同一个线性映射在不同基下的矩阵不同定理8设A是n维线性空间V1到m维线性空间V2的线性映射，1,2,…n和是V1的两组基,由1,2,…n到的过渡矩阵是Q，和

8、是V2的两组基。由到的过渡矩阵是P，A在基与基下的矩阵为A，而在基与基下的矩阵为B，则B=P-1AQ，（称A与B相抵）定义1V是数域P上的线性空间，对V中的任意两个向量，和任意kP，映射T：VV满足