第三讲函数的内涵和外延ppt课件.ppt

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1、第三讲函数的内涵和外延内容结构：1、函数概念的发展历程；2、函数思想的广泛应用；3、初等函数的分类；4、基本初等函数的公理化定义。函数概念的发展历程一引子：变量数学的引入变量数学的第一个里程碑是解析几何学的发明。解析几何的基本思想是在平面内引进“坐标”的概念，并借助这种坐标在平面上的点和有序实数对（x，y）之间建立一一对应的关系。每一对实数（x，y）都对应于平面上的一个点；反之，每个点都对应于它的坐标（x，y）。解析几何的创始人——笛卡儿第三讲函数的内涵和外延“一切问题可以转化成数学问题；一切数学问题可以转化成代数问题；一

2、切代数问题可以转化成方程求解的问题。笛卡儿的数学格言恩格斯；“数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入数学；有了变数，辩证法进入数学；有了变数，微分和积分也立刻成为必要了。”恩格斯评论笛卡儿：“数学由于研究变数而进入辩证法的领域，而且很明显正是辩证哲学家笛卡儿使数学有了这种进步。”笛卡尔的哲学格言是：“我思，故我在”。“一切问题可以转化成数学问题，一切数学问题，可以转化成代数问题，一切代数问题，可以转化成方程求解的问题。笛卡儿的数学格言是：（万能代数模型）笛卡儿不仅是解析几何的创始人，而且也是近代西方哲学的奠基人之

3、一。他的数学思想和数学方法洋溢着哲学的气息和形而上学的思辩性。数学史上最具水准的情书情书内容：R=a(1-sinx)“笛卡儿，欧洲文艺复兴以来，为人类争取并保证理性权利的第一人”。墓碑内容：二函数内涵（概念）的发展历程函数是数学中的一个基本而又重要概念之一，它几乎渗透到现代数学的各个分支，初等函数是贯穿中学数学始终的主要内容，也是高等数学的重要组成部分。函数的概念是随着数学的发展而发展的，是不断地改进，不断地抽象，不断地创新的过程。问题：高中阶段如何讲解“函数”课题？方法1：利用初中、高中课本函数知识的差异导入课题。问题：

4、高中阶段如何讲解“函数”课题？方法2：利用映射导入课题。举例1、“开平方”、“平方”、“求余弦”等关系（对应）的共同点引入课题（90年代教材）函数产生的历史背景16世纪开始，由于生产力的不断发展，人们对物体运动，变化的研究成了科学技术发展的中心问题。因此变化着的量的相互间的依赖关系成了研究的主要课题，反映到数学里，就产生了变量和函数的概念。“变量”的概念，首先由笛卡尔提出，从而改变了过去数学只研究常量的局面。1、17世纪末，德国数学家莱布尼兹首先用“function”一词来表达“函数”的意思，当时用来表示“幂”、“坐标”、

5、“切线长”等概念。莱布尼兹把所有与曲线上的点有关的量都称为函数，这一函数概念是非常含混不清的。德国百科式的天才数学家2、1718年，瑞士数学家约翰伯努利给出函数的定义，同时第一次使用了“变量”一词，他写到：“变量的函数就是变量和变量以某种方式组成的量”。首先将函数概念公式化。3、18世纪，法国数学家达朗贝尔给出函数的定义为：“所谓函数就是由这些变量和常量所组成的解析表达式”。即用解析表达式表示函数关系。4、瑞士数学家欧拉把函数定义进一步解析化，将函数定义为“变量的函数是一个由该变量与一些常量以任何方式组成的解析表达式”。欧

6、拉的函数定义在18世纪后期占据了统治地位，在这一定义基础上，函数的概念本身大大丰富了。第一阶段函数的发展特点：优点：用解析式和图象表示函数，直观形象，但是它们没有揭示出函数的本质特征，停留在表象上。5、19世纪的法国数学家柯西（1821年）给出函数的定义：“两个相互联系的变量，一个变量的数值可以在某一范围内任意变化，这样的变量叫自变量。另一变量的数值随着自变量的变化而变化，这个变量叫因变量，称因变量是自变量的函数。”（中学教材30—40年代）这个定义朴素地反映了函数的辨证因素，并在特定条件下体现了自变到因变的生动过程，总结

7、了许多函数的共性，但是它强调“随着变化而变化”，从而缩小了函数的外延。6、19世纪德国数学家狄立克莱（1837年）首先用单值对应的思想给出函数新的定义：“如果对于给定区间上的每一个x值，有唯一的y值同它对应，那么就称y是x的函数，x是自变量。”（近代函数定义的原型）这个定义采用了“对应”的观点，摆脱了“变量”一词的提法，强调“对应关系”，是一个进步，它澄清了函数、曲线与解析式之间的纠缠不清的现象，但没有注意对应法则所占据的重要作用，同时它借助“对应”来定义函数，而未对“对应”作出定义，只能凭借直观加以理解。这一时间的函数定

8、义称为函数的传统定义。第二阶段函数发展的特点是：具有辨证的思想，引入了新的观点。7、近代数学中，函数概念又有了进一步扩展。在康托所创立的集合论基础上，逐渐形成了函数的近代定义。近代定义不像传统定义那样把函数看成是一种变量，而是把函数作为定义域、值域和从第一域到值域上的对应法则组成的映射，它抓住了函数概念