第8章等截面直杆的扭转ppt课件.ppt

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1、第八章等截面直杆的扭转第一节扭转问题中应力及位移第二节扭转问题中的薄膜比拟第三节矩形截面杆的扭转第四节薄壁杆的扭转第五节椭圆杆的扭转§8-1扭转问题中应力及位移1.应力函数及应力分量设有等截面直杆，体力可以不计，在两端平面内受有转向相反的两个力偶，取杆的上端平面为xoy面，z轴铅直向下。（8-1）代入平衡微分方程，且，得：图8-1按应力求解，采用半逆解法求解，按材料力学解答，假设：除了横截面上的切应力以外，其它的应力分量都等于零，即，，（a）由前两式可知，及只是x、y的函数，不随z变化。第三式可写为：根

2、据全微分理论，一定存在一个函数，使得，此处的为扭转问题中的应力函数。由此得用应力函数表示的应力分量：，（8-2）将（8-1）代入相容方程（7-13），可见其中的前三式及最后一式总能满足，而其余两式成为：，将（8-2）代入，得：，（8-3）考虑边界条件，在杆侧面，，面力，可见应力边界条件（6-5）式中的前两式总能满足，第三式成为：将（8-2）式代入，有由于在边界上，，（见差分法）说明在杆的侧面，应力函数所取的边界值应是常量（单连体，加减常数不影响应力分量），为简便，即取为零（8-4）在杆的任一端（如上端z

3、=0），，，应力边界条件（6-5）的第三式总能满足，而前两式成为：，由于面力不知道，无法精确满足，应用圣维南原理，改为用主矢、主矩来代替，即：（b）（c）（d）（e）由（8-2）可知，式（c）左边为：由于=0，可见式（c）能满足。同理，可知式（d）也能够满足。而式（e）左边也可写成为：同理：于是，（e）式为：（8-5）总结：为求应力，需求出应力函数F，使其满足方程（8-3）至（8-5），然后由式（8-2）求出应力分量。2.位移分量将应力分量（8-1）及（8-2）代入物理方程（6-12），得：，，，，，再

4、代入几何方程（6-8）式，得：（f）通过积分运算，由以上的第一、二及六式求得：，其中的积分常数也代表刚体位移，若不计刚体位移，只保留与形变有关的位移，则：，（8-6）若用圆柱坐标表示，就是：，。可见，每个横截面在坐标面上的投影不改变，而只是转动一个角度。由此可见，杆在单位长度内的扭转角是。将（8-6）代入（f）式的第五、四两式，得：，（8-7）可以用来求位移分量w。将上列两式分别对y和x求导，然后相减，移项，得则方程（8-3）中的常数C是有物理意义的，可表示为：（8-8）（8-9）§8-2扭转问题中的薄

5、膜比拟薄膜在受均布压力下的垂度，与等截面直杆扭转问题中的应力函数，在数学上是相似的。用薄膜来比拟扭杆，有助于寻求扭转问题的解答，称为薄膜比拟。设有一块均匀薄膜，张在一个水平边界上，水平边界形状与某一扭杆的横截面边界形状相同。当薄膜承受微小的气体压力时，薄膜各点将发生微小的垂度。设边界所在的水平面为面xy，薄膜的垂度为z。薄膜不承受弯矩、扭矩、剪力和压力，只承受均匀的拉力FT。。图8-2从薄膜中取微小单元abcd，它在xy面上的投影是一个矩形，边长为dx和dy。在ab边界上的拉力是FTdy（FT是单位宽度

6、上的拉力），它在z轴上的投影是；在cd边上的拉力也是FTdy，在z轴上的投影是。在ad边界上的拉力是FTdx，它在z轴上的投影是；在bc边上的拉力也是FTdx，在z轴上的投影是。单元abcd受到的压力是qdxdy，由，得简化后，得（8-10）此外，薄膜在边界上的垂度为零，即：（8-11）将薄膜垂度z的微分方程（8-10）式与扭杆应力函数F的微分方程（8-8）式对比，并将（8-11）式与（8-4）式对比，可见，如果使薄膜的相当于扭杆的2GK，薄膜的垂度z就相当于扭杆应力函数F。由于扭矩，而薄膜与边界平面（

7、xy面）之间的体积的两倍是：可见，为了使得薄膜垂度z相当于扭杆应力函数F，也可以使薄膜与边界平面之间的体积的两倍相当于扭矩。在扭杆的横截面上，沿x方向上的切应力为，另一方面，薄膜沿y方向的斜率为。可见，扭杆横截面上沿x方向上的切应力相当于薄膜沿y方向的斜率。由于x轴和y轴可以取在任意两个垂直的方向上。故可知：在扭杆横截面上某一点的沿任一方向的切应力，就等于薄膜在对应点的，沿垂直方向的斜率。§8-3矩形截面杆的扭转横截面为矩形，边长为a和b，如图8-3。图8-31.狭长矩形截面杆即a>>b，则由薄膜比拟可

8、以推断，应力函数F在绝大部分横截面上几乎与x无关，因为对应的薄膜几乎不受短边约束的影响，近似于柱面。于是可以假设为，而式（8-3）成为：积分，并注意有：边界条件，可得：（a）为求常数C，将（a）式代入（8-5）式，得：积分，有，，得：（b）代入（a）式，得：（c）将（c）式代入（8-2）式，得应力分量：，（8-12）由薄膜比拟可知，最大切应力发生在矩形截面的长边上，例如A点（），其大小为：将（b）式代入（8-9）式，得扭角：（8-13）（8