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1、二、几个初等函数的麦克劳林公式第三节一、泰勒公式的建立三、泰勒公式的应用—应用用多项式近似表示函数理论分析近似计算泰勒(Taylor)公式第三章1Taylor公式多项式是一类很重要的函数，其明显特点是结构简单，因此无论是数值计算还是理论分析都比较方便。从计算的角度看，只须加、减、乘三种运算，连除法都不需要，这是其它函数所不具备的优点。用多项式近似地表示给定函数的问题不仅具有实用价值，而且更具有理论价值。一般的函数不好处理先用较好处理的多项式近似替代，然后通过某种极限手续再过渡到一般的函数。“以直代曲”就是用一次多项式去近似给定函数。2学习指导1.教学目的了解泰勒公式的条
2、件和结论,知道麦克劳林公式。2.注意事项(1)求给定函数的泰勒公式时要明确指定点X0和最高阶数，要正确写出拉格朗日余项或皮亚诺余项。(2)几个常用函数的n阶麦克劳林公式要记清楚，很多场合可以直接用。(3)求某些未定式的极限可借助于带皮亚诺余项的泰勒公式完成。(4)证明某些与高阶导数有关的命题时常用到泰勒公式。3一、问题的提出泰勒公式主要是用多项式近似代替函数,且误差可由公式表示出来。这样对精确度要求较高且需要估计误差的情形就可用高次多项式来近似表示函数,同时给出误差公式。以直代曲4(如下图)例如5不足:问题:1.精确度不高;2.误差不能估计.需要解决的问题如何提高精度?
3、如何估计误差?62.若有相同的切线3.若弯曲方向相同近似程度越来越好系数和余项的确定7则8找到n次多项式9二、泰勒(Taylor)中值定理10证只需证明根据假设可知,11根据柯西中值定理12照此方法继续下去,代入(1)式得证毕13多项式14公式15关于泰勒公式的说明泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广.16佩亚诺型(Peano)余项带有佩亚诺型余项的n阶泰勒公式无穷小性质17带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式（多项式）麦克劳林（Maclaurin）公式（多项式）18带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式函数的近似公式误差估计式19三、几个初等函数的麦克劳林公式其中20由公式可知估
4、计误差其误差21其中f(x)cosxf(x)sinxf(x)cosxf(0)0f(0)1f(0)0f(0)1f(4)(0)022sinx的Taylor多项式对sinx的近似情况：m=1时：23sinx的Taylor多项式对sinx的近似情况：m=3时：24sinx的Taylor多项式对sinx的近似情况：m=5时：25sinx的Taylor多项式对sinx的近似情况：m=11时：26类似可得其中27其中28已知其中类似可得29常用函数的麦克劳林公式30例1解31例2解32四、泰勒公式的应用1.在近似计
5、算中的应用误差M为在包含0,x的某区间上的上界.需解问题的类型:1)已知x和误差限,要求确定项数n;2)已知项数n和x,计算近似值并估计误差;3)已知项数n和误差限,确定公式中x的适用范围.33已知例3.计算无理数e的近似值，使误差不超过解:令x=1,得由于欲使由计算可知当n=9时上式成立,因此的麦克劳林公式为34说明:注意舍入误差对计算结果的影响.本例若每项四舍五入到小数点后6位,则各项舍入误差之和不超过总误差为这时得到的近似值不能保证误差不超过因此计算时中间结果应比精度要求多取一位.35例4.用近似公式计算cosx的近似值,使其精确到0.005,试确定x的适用范围.
6、解:近似公式的误差令解得即当时,由给定的近似公式计算的结果能准确到0.005.36例5解2.利用泰勒公式求极限3738解例639例7利用泰勒公式求解40例8证3.利用泰勒公式证明不等式4142五、小结在x0点的n阶可导函数在x0点的n阶近似多项式存在且唯一，就是泰勒多项式；佩亚诺型余项的泰勒公式常用于讨论函数的局部性质，如求极限；拉格朗日型余项的泰勒公式常用于讨论函数的整体性质，如近似计算、误差估计以及建立函数与其高阶导数之间的联系。43内容小结1.泰勒公式其中余项当时为麦克劳林公式.442.常用函数的麦克劳林公式(P140~P142)3.泰勒公式的应用(1)近似计算(
7、3)其他应用求极限,证明不等式等.(2)利用多项式逼近函数,45作业P1431;4;5;7;8;10(1),(2)46泰勒(1685–1731)英国数学家,他早期是牛顿学派最优秀的代表人物之一,重要著作有:《正的和反的增量方法》(1715)《线性透视论》(1719)他在1712年就得到了现代形式的泰勒公式.他是有限差分理论的奠基人.47麦克劳林(1698–1746)英国数学家,著作有:《流数论》(1742)《有机几何学》(1720)《代数论》(1742)在第一本著作中给出了后人以他的名字命名的麦克劳林级数.48
