第1章有限单元法概述ppt课件.ppt

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1、机械设计中的一个重要环节是研究机械零部件的应力和变形问题，为强度和刚度等的设计计算提供依据。1.材料力学介绍了拉伸与压缩、剪切、扭转、弯曲内力、弯曲强度、弯曲变形、应力状态及应变状态分析、强度理论、组合变形、静不定系统、动载荷、交变应力、压杆稳定、平面曲杆、厚壁圆筒和旋转圆盘等内容。主要是传授机械设计强度、刚度、稳定性等方面的知识，并用来解决在机械设计中杆、梁、圆筒、圆盘等特殊构件的强度、刚度、稳定性方面的分析问题，且要求材料各向同性。由于机械构件的复杂性（包括几何复杂性、边界与载荷的复杂性、材料的复杂性），显然材料力学对于机械设计来说远

2、远不够。弹性力学1.1有限单元法产生的背景2.弹性力学：弹性力学的任务与材料力学、结构力学类似，也是研究构件在外部因素（如载荷、温度变化等）作用下，在弹性变形阶段的应力和位移，校核构件的强度和刚度。弹性力学方程的建立：众多的机械零部件通常可以看作是由杆件、板块、壳体、块体等组合而成的。弹性力学研究杆状构件、杆件系统、板、壳、块体等构件。弹性力学研究构件应力和变形时，对变形状态和应力的分布规律等不作假设，弹性力学解决问题的方法是：假想物体内部为无数个平行六面体单元，表面（表层）由无数个四面体单元组成。考虑这些单元体的平衡，根据静力平衡条件可

3、以写出一组平衡微分方程，但由于未知应力数多于微分方程数，因此弹性理论问题是超静定的，必须考虑变形协调条件。由于物体在变形之后仍保持连续，所以单元之间的变形必须是协调的，由此可以产生一组表示变形连续性的微分方程，此外还要用广义胡克定律表示应力与形变之间的关系（物理方程）。另外，在弹性体表面上还需考虑体内应力与外载荷之间的平衡，称为边界条件。这样就可以列出足够的微分方程以求解未知应力、形变和位移。因此，弹性力学的研究方法是从受力体中取出一无限小的微元体，从静力平衡条件、几何变形条件和本构关系（物理方程）等方面，建立弹性体内各点的位移和应力之间

4、的基本的、普遍的关系式，再根据边界条件求得解答。弹性力学方程组的求解：上述这些微分方程还可以综合简化为以应力为基本未知函数的微分方程，或以位移为基本未知函数的微分方程，但这些都是偏微分方程，往往不能求得通解。所以弹性力学常用所谓的“逆解法”，即先假设一解答，如这个解能满足所有的偏微分，同时满足边界条件，则这个解答就是正确的解答，同时也是唯一的。或用“半逆解法”，即先假设一部分解答，另一部分在解题过程中求出。引申一步来讲，从数学角度看，一个工程问题往往可以通过系列偏微分方程来描述，如弹性力学基本方程组、塑性力学基本方程组、流体力学基本方程组

5、等。但是由于方程本身的复杂程度和求解域及边界条件的复杂性，常很难或根本得不到上述偏微分方程组的精确求解（解析解）。在这种情况下，寻求上述问题的数值解法以获得满足上述工程精度要求的近似解，就显得十分重要和必要。数值分析法3.数值分析法在有限单元法产生以前，近似数值分析方法基本上可以分为两大类：一类是以有限差分为代表的方法；一类是是首先建立与原问题基本方程和定解条件相等效的积分方法，然后按此建立近似解法。例如加权残值法、最小二乘法、加辽金法、里兹法、力矩法等。虽然这两类方法在不同领域上均获得成功的应用实例（如有限差分在流体场分析方面），但由于

6、它们均是在整个求解区域上假设近似函数，因此对结构几何形状复杂的问题仍然不能给出满足近代工程技术精度要求的近似解，另外对于复杂几何形状问题甚至求解发生困难。随着电子计算机的迅速发展和普遍应用，开发了另一种近似数值分析法－－有限单元法（FiniteElementMethod，简称FEM）。有限单元法的出现，是数值分析方法研究领域内重大突破性进展。有限单元是一种适用性很强的数值方法，它可以用于求解多种类型的偏微分方程。有限元法的概念浅显，容易掌握。对于像结构应力分析的这样问题，以往人们总是试图寻找一个或多个连续光滑的函数，在整个求解域上满足控制

7、方程和全部边界条件，以便得到精确的解析解。但是由于物体的几何形状及边界条件复杂，控制方程的条件苛刻，要寻找这样的解析函数非常困难，甚至根本不可能。有限元法避开在整个求解区域上寻找连续解析函数这一难点，转为寻求在各个子域（单元）上适应控制方程，并满足整个物体边界条件和连续条件的分块近似的插值函数。1.2有限元单元法的基本解题思想与应用领域1.有限单元法的基本思想先将整体假想地分成有限的小单元，单元与单元之间仅通过节点联结在一起，对于每个单元都用节点未知量通过插值函数来近似地表示单元内部的多种物理量，并使其在单元内部满足该问题的控制方程，即单

8、元特性分析，从而将各单元对整体的影响通过单元的节点传递；然后再将这些单元组装成一个整体，并使他们满足整个物体的边界条件和连续条件，得到一组关于节点未知量的联立方程，即整体分析；解出方程后，再用