理论力学-质点的振动.ppt

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1、动力学西北工业大学支希哲朱西平侯美丽质点的振动§9–4质点的强迫振动§9–3质点的衰减振动§9–2质点的自由振动§9–1概述第九章质点的振动动力学目录§9-1概述振动实例●振动是指运动在其稳定位置附近所作的周期性往复运动。§9-1概述●振动是指运动在其稳定位置附近所作的周期性往复运动。●线性振动的运动微分方程都是线性的。实际系统往往要经过近似处理才能化成线性的。●在质点受到扰动而脱离其平衡位置后，会受到一个恒指向这平衡位置而促使质点返回的力，这种力称为恢复力。几个概念●当恢复力的大小和质点到平衡位置的距离成正比时，则称为线性恢复力。●质点振动时还可能受阻

2、力作用，这里只考虑与速度一次方成正比的线性阻力。§9-1概述§9-2质点的自由振动质量一弹簧系统km§9-2质点的自由振动自由振动是质点仅在恢复力作用下进行的振动。简单的模型为下面所示的质量一弹簧系统。§9-2质点的自由振动质点受到初始扰动后，将得到初位移和初速度，此后质点在弹簧力维持下的运动，即为自由振动。自由振动是质点仅在恢复力作用下进行的振动。简单的模型如图(a)所示的质量一弹簧系统。l0OM(a)(b)xFMOx§9-2质点的自由振动一、自由振动的微分方程及其解取坐标轴Ox，原点O是质点M的平衡位置。如图（a）所示。当M的坐标是x时，弹簧作用于M

3、的力F的大小表示成因F恒指向平衡位置O，故它可写成于是，质点M的运动微分方程写成或式中c称为弹簧的刚度系数，简称刚度。l0OM(a)(b)xFMOx§9-2质点的自由振动引入参量则上式可写成标准形式这就是在线性恢复力单独作用下，质点受初扰动后的无阻尼自由振动微分方程，它是二阶常系数线性齐次微分方程。其通解为把上式对时间求导数，得§9-2质点的自由振动当t=0时，质点的初坐标和初速度令t=0且和，就可以确定积分常数和这样，质点无阻尼自由振动规律和速度变化规律分别是l0OM(a)(b)xFMOx§9-2质点的自由振动这样，质点无阻尼自由振动规律和速度变化规律

4、分别是通常把上二式写成利用三角变换，可以确定§9-2质点的自由振动可见，质点无阻尼自由振动是简谐振动，其运动如图所示。TAAOtx§9-2质点的自由振动二、自由振动的基本参数（1）振幅和相角由式（a）可见质点相对于振动中心（平衡位置）的最大偏离称为振幅。（ω0t+α）称为相角，而α称为初相角。由式（b）可见，振幅和初相角都和运动的初始扰动()有关。（a）（b）TAOtxA§9-2质点的自由振动（2）周期和频率每重复一次运动状态所需的时间间隔，称为周期，并用T表示。每隔一个周期T，相角应改变ω0T=2π。因此，周期可以表示成周期一般以s计。周期仅和系统本身

5、的固有参数（质量m与刚度）有关，而和运动的初始条件无关。TAOtxA●周期§9-2质点的自由振动每2π秒内振动的次数称为圆频率，表示为单位时间内振动的次数，称为频率，记作f。ω0只和系统的固有的性质有关，而和运动的初始条件无关系。因此，ω0称为系统的固有频率或自然频率。●频率TAOtxA§9-2质点的自由振动用λs代表当物块在重力G和弹簧力F0的作用下在平衡位置静止时弹簧所具有的变形，即静变形（如图a）。以平衡位置O作为原点，令轴Ox铅直向下，则当物块在任意位置x时，弹簧力F在轴x上的投影Fx=-k(λs+x)（如图b）。（1）显然，由平衡条件G-F0=

6、0有可得物块的运动微分方程MGF0l0λs（a）MxxOGF（b）三、铅直悬挂质量一弹簧系统§9-2质点的自由振动或其中，可见，M仍在平衡位置附近作无阻尼自由振动。利用弹簧自由悬挂时的静伸长λs，来求出系统的固有频率，有考虑到关系式，上式写成与水平质量一弹簧系统比较，铅直悬挂质量一弹簧系统质点上只有增加了一个常力，这力只引起平衡位置的改变，而不影响振动的规律（如周期、频率、相位）。即MxxOGF如图所示为一弹性杆支持的圆盘，弹性杆扭转刚度为kn，圆盘对杆轴的转动惯量为J。§9-2质点的自由振动§9-2质点的自由振动解：圆盘绕杆轴转动微分方程为或振动周期§

7、9-2质点的自由振动knOφ如图所示为一弹性杆支持的圆盘，弹性杆扭转刚度为kn，圆盘对杆轴的转动惯量为J。例9-1求单摆(数学摆)的运动规律。Oφmφ0l§9-2质点的自由振动例题9-1把单摆看成一个在圆弧上运动的质点M，设其质量为m，摆线长l。又设在任一瞬时质点M具有速度v，摆线OM与铅垂线的夹角是。通过悬点O而垂直于运动平面的固定轴z作为矩轴，对此轴应用质点的动量矩定理动量矩解：力矩OφvMφ0lmgF§9-2质点的自由振动例题9-1从而可得化简即得单摆的运动微分方程§9-2质点的自由振动动量矩力矩动量矩定理例题9-1OφvMφ0lmgF单摆

8、的运动微分方程微小摆动中，φ值始终很小，可以认为sinφ≈φ，则考虑初始条件：t