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1、高等代数习题集苏州大学数学科学学院高等代数组收集2003,4,301.设X=，求X。2.设二次型f(x1,x2,...,xn)是不定的，证明：存在n维向量X0，使X0'AX0=0，其中A是该二次型的矩阵。3.设W={f(x)
2、f(x)P[x]4,f(2)=0}。a证明：W是P[x]4的子空间。b求W的维数与一组基。4.在R3中定义变换A：任意(x1,x2,x3)R3,A(x1,x2,x3)=(2x2+x3,x1-4x2,3x3)。1，证明：A是Rr3上线性变换，2，求A在基xi1=(1,0,0),
3、xi2=(0,1,0),xi3=(1,1,1)下的矩阵。5.设，求正交矩阵T，使T'AT成对角形。6.设V是数域P上n维线性空间，A是V上可逆线性变换，W是A的不变子空间。证明：W也是A-1的不变子空间。1.设V是n维欧氏空间，A是V上变换。若任意,V，有(A,A)=(,)。证明：A是V上线性变换，从而是V上正交变换。2.设X=，求X。3.设A是奇数级的实对称矩阵，且
4、A
5、>0，证明：存在实n维向量X00，使X0'AX0>0。4.设A=，W={
6、R4,A=0}。证明：1.[1，]W是4的一个子空间
7、。2.[2，]求W的维数与一组基。5.设B，C=，在R2x2中定义变换A：任意XR2x2,A(X)=BXC。1，证明：A是R2x2上线性变换。。2，求A在基E11,E12,E21,E22下的矩阵。6.用正交线性替换，化实二次型f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1x3-2x2x3为标准形。7.设V为数域P上线性空间，A是V上线性变换，若(A2)-1(0)=A-1(0)，证明：V=AV.+A-1(0)。8.设V是n维欧氏空间。A是V上正交变换，W是A的不变子空间。证明：W也是A的不变子空间。9.
8、设X=，求X。1.设A是奇数级的实对称矩阵，且
9、A
10、>0，证明：存在实n维向量X00，使X0'AX0>0。2.设A=，W={
11、R4,A=0}。证明：1.[1，]W是4的一个子空间。2.[2，]求W的维数与一组基。3.设B，C=，在R2x2中定义变换A：任意XR2x2,A(X)=BXC。1.[1，]证明：A是R2x2上线性变换。。2.[2，]求A在基E11,E12,E21,E22下的矩阵。4.用正交线性替换，化实二次型f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1x3-2x2x3为标准形。5.设V为数域
12、P上线性空间，A是V上线性变换，若(A2)-1(0)=A-1(0)，证明：V=AV.+A-1(0)。6.设V是n维欧氏空间。A是V上正交变换，W是A的不变子空间。证明：W也是A的不变子空间。7.设X=，求矩阵X。8.设实二次型f(x1,x2,...,xn)=X'AX的秩是n,其中A是实对称矩阵.证明:实二次型g(x1,x2,...,xn)=X'A-1X与f(x1,x2,...,xn)有相同的正负惯性指数和符号差。9.设W={(a1,a2,...,an)
13、aiR,ai=0}证明1.[1，]证明：W是
14、Rn的子空间。2.[2，]求W的维数与一组基。10.设B=,B=.在R2中定义变换:对任意XR2x2,X=BX+XC1.[1，]证明：是V上线性变换。1.[2，]求在基E11,E12,E21,E22下的矩阵。2.设A=，求正交矩阵T，使T'AT成对角形。3.设V为数域P上n维线性空间，V1,V2为其子空间，且V=V1V2,为V上可逆的线性变换.证明：V=V1+V2。4.设V为n维欧氏空间，若A既是V上对称变换且A2=E。证明：存在V的一组标准正交基，使得在该基下的矩阵为。5.设X=，求矩阵X。6.
15、设f(x1,x2,...,xn)=X'AX是实二次型,其中A是实对称矩阵.如果X'AX=0当且仅当X=0。证明：f(x1,x2,...,xn)的秩为n，符号差是n或-n.7.设=(1,2,3,0),=(-1,-2,0,3)，=(0,0,1,1),=(1,-2,-1,0)，W={ki
16、 kiR}。1.[1，]证明：W是Rr4的子空间。2.[2，]求W的维数与一组基。8.设A三维向量空间V上可逆线性变换，A在基,,下的矩阵是。1.[1，]证明：A的逆变换A-1也是V上线性变换。2.[2，]求A-1的在
17、,,下的矩阵。9.设，求正交矩阵T，使T'AT成对角形。1.设V为n维欧氏空间，若A既是V上正交变换，又是V上对称变换。证明：A2是V上的恒等变换。2.设V为数域P上n维线性空间，W为其子空间，A为V上线性变换。证明：维(AW)+维(A-1(0)W)=维W。3.设X=，求矩阵X。4.设W={A
18、AR3x3,A'=-A}。1.[1，]证明：W是R3x3的一个子空间。2.[2，]求W的维数与一组基。5.设实二次型f(x1,x2,...,xn)=X'AX的秩为n，符号差是s。证明：R中存
