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1、错解剖析得真知（四十）§13．3算法案例一、知识导学1．算法设计思想：（1）“韩信点兵—孙子问题”对正整数m从2开始逐一检验条件，若三个条件中有任何一个不满足，则m递增1，一直到m同时满足三个条件为止(循环过程用Goto语句实现)（2）用辗转相除法找出的最大公约数的步骤是：计算出的余数，若，则为的最大公约数；若，则把前面的除数作为新的被除数，继续运算，直到余数为0，此时的除数即为正整数的最大公约数.2.更相减损术的步骤：（1）任意给出两个正数，判断它们是否都是偶数.若是，用2约简；若不是，执行第二步.（2）以较大的数
2、减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数.继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数.（3）二分法求方程在区间内的一个近似解的解题步骤可表示为S1取[]的中点，将区间一分为二；S2若，则就是方程的根；否则判别根在的左侧还是右侧：若，，以代替；若，则，以代替；S3若，计算终止，此时，否则转S1.二、疑难知识导析1．表示不超过的整数部分，如，但当是负数时极易出错，如就是错误的，应为-2.2．表示除以所得的余数，也可用表示.3．辗转相除法与更相减损术求最大公约数的联系与区别：
3、（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显.（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到.4．用二分法求方程近似解，必须先判断方程在给定区间[]上是否有解,即连续且满足.并在二分搜索过程中需对中点处函数值的符号进行多次循环判定，故需要选择结构、循环结构，即可用Goto语句和条件语句实现算法.三、经典例题导讲[例1]，，，7=.A．16，-
4、1，4，3B.15，0，4，3C.15,-1,3,4D.15,-1,4,3错解：根据表示不超过的整数部分,表示除以所得的余数,选择B.错因:对表示的含义理解不透彻,将不超过-0.05的整数错认为是0,将负数的大小比较与正数的大小比较相混淆.正解：不超过-0.05的整数是-1,所以答案为D.[例2]所谓同构数是指此数的平方数的最后几位与该数相等.请设计一算法判断一个大于0且小于1000的整数是否为同构数.错解：算法思想：求出输入数的平方，考虑其个位或最后两位或最后三位与输入数是否相等，若相等，则为同构数.ReadxIf
5、ororThenPrintxEndifEnd错因：在表示个位或最后两位或最后三位出现错误，“/”仅表示除，y/10,y/100,y/1000都仅仅表示商.正解：可用来表示个位，最后两位以及最后三位.ReadxIfororThenPrintxEndifEnd[例3]《孙子算经》中的“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”可以用下面的算法解决：先在纸上写上2，每次加3，加成5除余3的时候停下来，再在这个数上每次加15，到得出7除2的时候，就是答数.试用流程图和伪代码表示这
6、一算法.解：流程图为：伪代码为：102030IfThenGoto2040IfThenPrintGoto8050Endif6070Goto4080End点评：这是孙子思想的体现，主要是依次满足三个整除条件.[例4]分别用辗转相除法、更相减损法求192与81的最大公约数.解：辗转相除法：S1S2S3S4S5故3是192与81的最大公约数.更相减损法：S1S2S3S4S5S6S7S8S9故3是192与81的最大公约数.点评：辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少.辗转相除法是当大数
7、被小数整除时停止除法运算，此时的小数就是两者的最大公约数，更相减损术是当大数减去小数的差等于小数时减法停止，较小的数就是最大公约数.[例5]为了设计用区间二分法求方程在[0，1]上的一个近似解（误差不超过0.001）的算法,流程图的各个框图如下所示,请重新排列各框图,并用带箭头的流线和判断符号“Y”、“N”组成正确的算法流程图,并写出其伪代码.(其中分别表示区间的左右端点)图13-3-2流程图为图13-3-3伪代码为10Read20304050IfThenGoto12060IfThen70100Endif80Else
8、90100Endif110IfThenGoto20120Print130End点评：二分法的基本思想在必修一中已渗透，这里运用算法将二分法求方程近似解的步骤更清晰的表述出来.[例6]用秦九韶算法计算多项式在时的值时，的值为.解：根据秦九韶算法，此多项式可变形为按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当时的值：故当时多项式的值为.点评：秦九韶算法的
