第4章--变形率和旋率.doc

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1、第4章变形率和旋率有限变形：与有关，作为参变量。——变形几何学现在把时间考虑进去，研究变形的速度问题。对时间求导数：两种描述法对时间求导数有区别，速度是求物质导数，固定，对时间求偏导数——变形运动学。§4.1物质变形梯度的物质导数Lagrange描述法：（物质）变形梯度张量：物质导数：（“”表示保持不变）§4.2速度梯度张量变形梯度张量的物质导数（1）定义：称为速度梯度张量由（1），可得：速度梯度张量比用处更大。§4.3线元的物质导数初始构形中的线元，现时构形中的线元求：对时间的物质导数：则反映了线元的变化速度。空间线元的物质导数等于速度梯度与空间线

2、元的点积。§4.4的加法分解用极分解，存在而用加法分解，不一定存在分解对称部分和反对称部分变形率张量：整旋率张量：（物质旋率）1．变形率张量。二阶对称张量，有三个相互垂直的主方向，主值由上式看出，为变形率张量，为方向变形速率，为变形率标架。2．旋率张量，反对称张量，只有三个独立的分量只要：，，，则上式成立。称为轴矢量，转动角速度。§4.5变形速度张量Euler描述法：求物质导数：则称为Euler变形速度张量。（前面称为变形率张量），有了Euler变形速度张量便可知。线元的伸长率：除以，则：（其中，分别为在和方向的方向余弦）知道后，任何的单位长度的变化

3、率可用表示出来。Lagrange描述法：（*）Larange变形速度张量为：另推：Green变形张量：（**）比较（*）与（**）式，Green变形张量的物质导数§4.6应变速度张量Lagrange描述法：Green应变张量：求物质导数：Lagrange应变速度张量：=Lagrange变形速度张量。另推：Euler描述法：Euler型应变张量：（Almansi应变张量）（前面：称为Cauchy变形张量）求物质导数：，则则同样：则：又则：Euler应变速度张量与Euler变形速度张量不同。即使，也不一定为零。若（即线元长度不变化）则（只有旋率张量）（应

4、变仍存在）不为零。§4.7各种旋率张量1.主旋率张量——物质旋率2.Lagrange旋率张量设固定在空间的标架——绝对标架的极分解：的主方向也构成标架——Lagrange标架，是变化的，则对应的Lagrange标架也变化，该变化引起的旋转变化率称为Lagrange旋率。(是一个正交张量，只是标架转动)（）称为Lagrange旋率张量。可证是反对称张量是正交张量，即是反对称张量。3.Euler旋率张量的三个主方向，构成Euler标架，（正交张量）称为Euler旋率张量。4.伸长率标架旋率（变形率）变形率：也有三个方向构成一个标架称为伸长率标架旋率。5.

5、相对旋率张量：Euler标架相对于Lagrange标架的转动速度。表示Lagrange标架，表示Euler标架。：表示从Lagrange标架到Euler标架的转动（与极分解相同）求相对运动，视为不动的标架（实际上在动）相对旋率：为正交张量，为反对称张量。§4.8主旋率和相对旋率的关系——物质旋率的极分解：又则又则同理：∴：时间在动力学中确定与时间有关。在静力学中，该时间概念有的所不同，认为荷载增量，应变增量，变形增量，——增量理论，就提出了有变形率、应变率问题，借用时间来考虑增量问题，其实不与时间紧密相关。