平面向量专题.doc

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1、向量专题☆零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行☆单位向量：模为1个单位长度的向量向量为单位向量｜｜＝1☆平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量平行向量也称为共线向量☆向量加法=向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：，但这时必须“首尾相连”．☆实数与向量的积：①实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）；（Ⅱ）当时，λ的方向与的方向相同；当时，λ的方向与的方向相反；当时，，方向是任意的☆两个向量共线定理：向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=☆平面向量的基本定理：如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一

2、平面内的任一向量，有且只有一对实数使：，其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底☆平面向量的坐标运算：(1)若，则，(2)若，则(3)若=(x,y)，则=(x,y)(4)若，则(5)若，则，☆向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质☆两个向量的数量积：已知两个非零向量与，它们的夹角为，则·=︱︱·︱︱cos叫做与的数量积（或内积）规定☆向量的投影：︱︱cos=∈R，称为向量在方向上的投影投影的绝对值称为射影☆数量积的几何意义：·等于的长度与在方向上的投影的乘积☆向量的模与平方的关系：☆乘法公式成立：；☆向量的夹角：已知

3、两个非零向量与，作=,=,则∠AOB=（）叫做向量与的夹角cos==当且仅当两个非零向量与同方向时，θ=00，当且仅当与反方向时θ=1800，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题补充：线段的定比分点平面向量常见题型类型（一）：向量的夹角问题1.平面向量，满足且满足，则的夹角为2.已知非零向量满足，则的夹角为3.已知平面向量满足且，则的夹角为4.设非零向量、、满足，则5.已知6.若非零向量满足则的夹角为类型（二）：向量共线问题1.已知平面向量，平面向量若∥，则实数2.设向量若向量与向量共线，则3.已知向量若平行，则实数的值是（）A．-2B．0C．1D．25．已知=（1，2

4、），=（-3，2）若k+2与2-4共线，求实数k的值；6．已知，是同一平面内的两个向量，其中=（1，2）若，且∥，求的坐标类型（三）:向量的垂直问题1．已知向量，则实数的值为2．已知=（1，2），=（-3，2）若k+2与2-4垂直，求实数k的值3．已知求与垂直的单位向量的坐标。4.已知向量5.6.∥，类型（四）投影问题1．已知，的夹角，则向量在向量上的投影为2．在△中，3．关于且，有下列几种说法：①；②；③④在方向上的投影等于在方向上的投影；⑤；⑥其中正确的个数是（）（A）4个（B）3个（C）2个（D）1个类型（五）求向量的模的问题1.已知零向量2.已知向量满足3.已知向量，

5、4．已知向量的最大值为6.设向量，满足及，求的值类型（六）平面向量基本定理的应用问题1．若=（1，1），=（1，-1），=（-1，-2），则等于（）(A)(B)(C)(D)2.已知3.设是平面向量的一组基底，则当时，4.下列各组向量中，可以作为基底的是（）(A)(B)(C)(D)5.(A)(B)(C)(D)类型（七）平面向量与三角函数结合题1.已知向量，，设函数⑴求函数的解析式（2）求的最小正周期；（3）若，求的最大值和最小值．2.已知的三个内角A、B、C所对的三边分别是a、b、c，平面向量，平面向量（I）如果求a的值；（II）若请判断的形状.3.已知向量,函数(1)求的周期

6、和单调增区间；(2)若在中，角所对的边分别是，，求的取值范围。向量与三角形内心、外心、重心、垂心一、四心的概念介绍（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。二、四心与向量的结合（1）是的重心.证法1：设是的重心.证法2：如图三点共线，且分为2：1是的重心（2）为的垂心.证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC，D、E是垂足.同理，为的垂心（3）

7、设,,是三角形的三条边长，O是ABC的内心为的内心.证明：分别为方向上的单位向量，平分,)，令（)化简得（4）为的外心。典型例题：例1：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心分析：如图所示，分别为边的中点.//点的轨迹一定通过的重心，即选.例2：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的（B）A．外心B．内心C．重心D．垂心分析：分别为方向上的单位向量，平分,点的轨迹一定通过的内心，即选.例3：是平面上一