数学练习题抽象函数.doc

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1、高考一轮专练——抽象函数1.已知函数y=f(x)(x∈R，x≠0)对任意的非零实数，，恒有f()=f()+f(),试判断f(x)的奇偶性。2已知定义在[-2，2]上的偶函数，f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1-m)

2、x，y∈R，有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）且f（0）≠0.（1）求证f（0）=1；（2）求证：y=f（x）为偶函数.7.已知定义在R上的偶函数y=f(x)的一个递增区间为（2，6），试判断（4，8）是y=f(2-x)的递增区间还是递减区间？8.设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意a，b，当a+b≠0，都有＞0（1）若a＞b，试比较f（a）与f（b）的大小；（2）若f（k＜0对x∈[－1，1]恒成立，求实数k的取值范围。9.已知函数是定义在（-∞，3]上的减函数，已知对恒成立，求实数的取值范围。10．已知函数当时，恒有

3、.（1）求证:是奇函数;（2）若.11．已知是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的，都满足:.（1）求的值;（2）判断的奇偶性，并证明你的结论;（3）若,，求数列{}的前项和.12．已知定义域为R的函数满足.（1）若（2）设有且仅有一个实数，使得，求函数的解析表达式.13．已知函数的定义域为R，对任意实数都有，且，当时,>0.（1）求;（2）求和;（3）判断函数的单调性，并证明.14．函数的定义域为R，并满足以下条件：①对任意,有>0；②对任意,有；③.（1）求的值;（2）求证:在R上是单调减函数;（3）若且，求证：.15．已知函数的

4、定义域为R,对任意实数都有,且当时,.（1）证明:;（2）证明:在R上单调递减;（3）设A=,B={},若=,试确定的取值范围.16．已知函数是定义在R上的增函数,设F.（1）用函数单调性的定义证明:是R上的增函数;（2）证明:函数=的图象关于点(成中心对称图形.17．已知函数是定义域为R的奇函数，且它的图象关于直线对称.（1）求的值；（2）证明：函数是周期函数;（3）若求当时，函数的解析式，并画出满足条件的函数至少一个周期的图象。18．函数对于x>0有意义，且满足条件减函数。（1）证明：；（2）若成立，求x的取值范围。19．设函数在上满

5、足，，且在闭区间［0，7］上，只有．（1）试判断函数的奇偶性；（2）试求方程=0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论．20.已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（－1）＝－2，求f（x）在区间[－2，1]上的值域。21.已知函数f（x）对任意，满足条件f（x）＋f（y）＝2+f（x＋y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）＝5，求不等式的解。22.是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）＞0，x∈N；②；③f（2）＝4。同时成立？若存在，求

6、出f（x）的解析式，如不存在，说明理由。答案：1.解：令=-1，=x，得f(-x)=f(-1)+f(x)……①为了求f(-1)的值，令=1，=-1，则f(-1)=f(1)+f(-1),即f(1)=0,再令==-1得f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1)∴f(-1)=0代入①式得f(-x)=f(x),可得f(x)是一个偶函数。2.分析：根据函数的定义域，-m，m∈[-2,2]，但是1-m和m分别在[-2，0]和[0，2]的哪个区间内呢？如果就此讨论，将十分复杂，如果注意到偶函数，则f(x)有性质f（-x)=f(x)=f(

7、x

8、)，就

9、可避免一场大规模讨论。解：∵f(x)是偶函数，f(1-m)

10、件得f（x）≠1，故f（x+2）=f（x+4）=.所以f（x+8）=.所以f（x）是以8为周期的周期函数，从而f（2001）=f（1）=1997说明：这类问题出现应紧扣已知条件，需用数值或变量